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ABCD est un carré de coté 5 cm. On a AI = BJ = CK = DL. D L A K C On pose AI=x, et on note f(x) l'aire du carré IJKL.

On admet que IJKL est un carré. Le but de l'exercice est de déterminer la position du point I pour que la surface du carré IJKL soit égale aux trois quarts de l'aire de ABCD.


1) Quel est l'ensemble de définition de f? (noté Df)

2) a) Déterminer l'aire du triangle AIL en fonction de x.
b) En déduire f(x).
3) Donner l'allure de la courbe représentative de f à l'aide de la calculatrice.
4) En déduire la (ou les) valeur(s) de x répondant à la question posée en introduction; on donnera la réponse à 102 près.​

ABCD Est Un Carré De Coté 5 Cm On A AI BJ CK DL D L A K C On Pose AIx Et On Note Fx Laire Du Carré IJKL On Admet Que IJKL Est Un Carré Le But De Lexercice Est D class=

Sagot :

Dorian506313500
1) L'ensemble de définition de \( f(x) \) est l'intervalle \([0, 5]\) car \( x \) ne peut pas dépasser la longueur du côté du carré \( ABCD \), qui est de 5 cm.

2)
a) Pour déterminer l'aire du triangle \( AIL \), il faut d'abord calculer la longueur de la diagonale \( AI \). Comme \( ABCD \) est un carré de côté 5 cm, \( AI \) est aussi la diagonale du carré \( ABCD \), donc \( AI = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \). L'aire du triangle \( AIL \) est \( \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{50} \).

b) L'aire du carré \( IJKL \) est \( f(x) = x^2 \).

3) Pour donner l'allure de la courbe représentative de \( f \), on peut utiliser une calculatrice graphique. La courbe sera une parabole, puisque \( f(x) = x^2 \), une fonction quadratique.

4) L'aire du carré \( IJKL \) doit être égale aux trois quarts de l'aire du carré \( ABCD \), donc \( f(x) = \frac{3}{4} \times 5^2 = \frac{75}{4} \).

En résolvant \( f(x) = \frac{75}{4} \), on obtient \( x^2 = \frac{75}{4} \). Donc \( x = \sqrt{\frac{75}{4}} \approx 4,33 \) cm.

Donc, la valeur de \( x \) répondant à la question posée en introduction est environ \( 4,33 \) cm.
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