Pour vérifier que la dérivée de la fonction f(x) est égale à ƒ'(x) = (x(x - 8)) / (3(x - 4)²), nous allons d'abord calculer la dérivée de f(x) et ensuite simplifier l'expression obtenue.
La fonction f(x) est définie comme suit : f(x) = x² / (3x - 12).
Pour calculer la dérivée de f(x), nous utilisons la règle du quotient et la règle de la dérivée d'une puissance.
f'(x) = (d/dx)(x²) / (3x - 12) - x² * (d/dx)(3x - 12) / (3x - 12)²
Simplifions chaque terme :
(d/dx)(x²) = 2x
(d/dx)(3x - 12) = 3
f'(x) = 2x / (3x - 12) - x² * 3 / (3x - 12)²
Maintenant, simplifions l'expression obtenue :
f'(x) = 2x / (3x - 12) - 3x² / (3x - 12)²
Pour simplifier davantage, factorisons le dénominateur :
(3x - 12)² = 3² * (x - 4)² = 9(x - 4)²
Maintenant, réécrivons l'expression :
f'(x) = 2x / (3x - 12) - 3x² / 9(x - 4)²
Simplifions le numérateur :
f'(x) = 2x / (3x - 12) - x² / (3(x - 4)²)
Maintenant, factorisons le numérateur :
2x - x² = x(2 - x)
Réécrivons l'expression :
f'(x) = x(2 - x) / (3(x - 4)²)
Nous avons donc vérifié que, pour tout réel x ≠ 4, ƒ'(x) = x(x - 8) / 3(x - 4)².
