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1. L'ensemble de définition de la fonction f est l'intervalle des valeurs possibles pour x telles que le point M reste sur le segment [AB]. Comme AB a une longueur de 6 cm, cela signifie que x doit être compris entre 0 et 6. Donc, l'ensemble de définition de f est \( 0 \leq x \leq 6 \).
2.a) Exprimons d'abord les aires des triangles ADM, BMN et CDN en fonction de x :
- L'aire du triangle ADM est \( \frac{1}{2} \times AD \times DM = \frac{1}{2} \times 6 \times (6 - x) = 3(6 - x) \).
- L'aire du triangle BMN est \( \frac{1}{2} \times BN \times BM = \frac{1}{2} \times (6 - x) \times x = \frac{1}{2}x(6 - x) \).
- L'aire du triangle CDN est \( \frac{1}{2} \times CD \times DN = \frac{1}{2} \times 6 \times x = 3x \).
2.b) Pour trouver f(x), il suffit de calculer la somme des aires de ces trois triangles :
\( f(x) = 3(6 - x) + \frac{1}{2}x(6 - x) + 3x \)
\( f(x) = 18 - 3x + \frac{1}{2}(6x - x^2) + 3x \)
\( f(x) = 18 - 3x + 3x - \frac{1}{2}x^2 + 3x \)
\( f(x) = 18 - \frac{1}{2}x^2 \)
En combinant les termes, on obtient \( f(x) = 0.5x^2 - 3x + 18 \).
2 c) Pour calculer l'image de 2 par la fonction f, on substitue x par 2 dans l'expression de f(x) :
\( f(2) = 0.5(2)^2 - 3(2) + 18 \)
\( f(2) = 0.5(4) - 6 + 18 \)
\( f(2) = 2 - 6 + 18 \)
\( f(2) = 14 \)
Donc, l'image de 2 par la fonction f est 14.