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89 Soit g la fonction définie sur R par :
-+x²³-3³/13²
3,2
g(x)=-
X
4
x² + x +1.
2
On note la courbe représentative de g dans un
repère orthonormé.
1. Déterminer la fonction g'.
2. On note h la fonction définie pour tout réel x par
h(x) = -x³-3x²-3x + 1. Déterminer la fonction h' et
dresser le tableau de variation de h.
3. En déduire le tableau de variation de la fonction g.
4. En quel(s) point(s) admet-elle une tangente
horizontale ?
5. Existe-t-il un point de 6, où la tangente est parallèle
à la droite d'équation y = -5x + 3?

Sagot :

Réponse:

D'accord, examinons les questions une par une :

1. Pour déterminer la fonction dérivée g'(x), nous utilisons la règle de dérivation. La dérivée de x^n est n*x^(n-1). Appliquons cela à chaque terme de la fonction g(x) :

g'(x) = (23/13)*x^(23-1) - (3/2)*x^(2-1) - (4/x^2)*(x^2 + x + 1) - (3,2/4)

2. Pour trouver la fonction dérivée h'(x), nous utilisons également la règle de dérivation. Appliquons-la à chaque terme de la fonction h(x) :

h'(x) = -3*x^(3-1) - 2*3*x^(2-1) - 3*1*x^(1-1)

Ensuite, pour dresser le tableau de variation de h, nous devons trouver les points critiques où h'(x) s'annule et déterminer le signe de h'(x) dans les intervalles entre ces points critiques.

3. À partir du tableau de variation de h, nous pouvons déduire le tableau de variation de la fonction g en utilisant les caractéristiques de la fonction g(x) et les informations du tableau de variation de h.

4. Pour déterminer les points où la fonction g(x) admet une tangente horizontale, nous devons trouver les points où g'(x) est égal à zéro.

5. Pour savoir si la tangente à la courbe de g passe par le point (6, -5x + 3), nous devons vérifier si la dérivée de g en ce point est égale au coefficient directeur de la droite donnée.

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