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Sagot :
Pour chaque équation, il suffit qu'un facteur du produit soit nul pour que le tout soit nul.
1. 2√x-4 = 0 donc √x = 2 donc x = 4
ou 3√x - 2 = 0 donc x = 4/9 S ={4/9;4}
2. √x -5 = 0 donc x = 25 ou √x+5 = 0 et √x ≥0 donc pas de solution S ={25}
3. x=0 ou 3√x -6 = 0 donc x = 4 ou √x - 3 = 0 donc x = 9. S = {0;4;9}
Pour résoudre ces équations dans \( \mathbb{R}^+ \) (l'ensemble des réels positifs), on peut utiliser le principe selon lequel le produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.
1. \( (2\sqrt{x}-4)(3\sqrt{x} - 2) = 0 \):
On résout les deux facteurs individuellement :
a) \( 2\sqrt{x}-4 = 0 \)
\( 2\sqrt{x} = 4 \)
\( \sqrt{x} = 2 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 4 \).
b) \( 3\sqrt{x} - 2 = 0 \)
\( 3\sqrt{x} = 2 \)
\( \sqrt{x} = \frac{2}{3} \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = \frac{4}{9} \).
Donc, les solutions sont \( x = 4 \) et \( x = \frac{4}{9} \).
2. \( (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x}+5)=0 \):
On résout les deux facteurs individuellement :
a) \( \sqrt{x} - 5 = 0 \)
\( \sqrt{x} = 5 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 25 \).
b) \( \sqrt{x} + 5 = 0 \)
\( \sqrt{x} = -5 \) : cette équation n'a pas de solution dans \( \mathbb{R}^+ \) car \( \sqrt{x} \) doit être positif.
Donc, la seule solution est \( x = 25 \).
3. \( x(3\sqrt{x} − 6)( \sqrt{x} − 3) = 0 \):
On résout les trois facteurs individuellement :
a) \( x = 0 \) : cette solution est déjà incluse dans \( \mathbb{R}^+ \), donc on la garde.
b) \( 3\sqrt{x} − 6 = 0 \)
\( 3\sqrt{x} = 6 \)
\( \sqrt{x} = 2 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 4 \).
c) \( \sqrt{x} − 3 = 0 \)
\( \sqrt{x} = 3 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 9 \).
Donc, les solutions sont \( x = 0 \), \( x = 4 \) et \( x = 9 \).
1. \( (2\sqrt{x}-4)(3\sqrt{x} - 2) = 0 \):
On résout les deux facteurs individuellement :
a) \( 2\sqrt{x}-4 = 0 \)
\( 2\sqrt{x} = 4 \)
\( \sqrt{x} = 2 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 4 \).
b) \( 3\sqrt{x} - 2 = 0 \)
\( 3\sqrt{x} = 2 \)
\( \sqrt{x} = \frac{2}{3} \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = \frac{4}{9} \).
Donc, les solutions sont \( x = 4 \) et \( x = \frac{4}{9} \).
2. \( (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x}+5)=0 \):
On résout les deux facteurs individuellement :
a) \( \sqrt{x} - 5 = 0 \)
\( \sqrt{x} = 5 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 25 \).
b) \( \sqrt{x} + 5 = 0 \)
\( \sqrt{x} = -5 \) : cette équation n'a pas de solution dans \( \mathbb{R}^+ \) car \( \sqrt{x} \) doit être positif.
Donc, la seule solution est \( x = 25 \).
3. \( x(3\sqrt{x} − 6)( \sqrt{x} − 3) = 0 \):
On résout les trois facteurs individuellement :
a) \( x = 0 \) : cette solution est déjà incluse dans \( \mathbb{R}^+ \), donc on la garde.
b) \( 3\sqrt{x} − 6 = 0 \)
\( 3\sqrt{x} = 6 \)
\( \sqrt{x} = 2 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 4 \).
c) \( \sqrt{x} − 3 = 0 \)
\( \sqrt{x} = 3 \)
En élevant les deux côtés au carré (puisque \( x \) doit être positif), on obtient \( x = 9 \).
Donc, les solutions sont \( x = 0 \), \( x = 4 \) et \( x = 9 \).
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