Ex 102
A. Probabilités conditionnelles
On admet que 3% des sacs de la production présentent un défaut.
On contrôle les sacs d'un lot. Ce contrôle refuse 94% des sacs avec défaut et accepte 92 % des sacs sans défaut.
On prélève un sac au hasard dans le lot.
On considère les événements suivants :
D: << le sac a un défaut »;
A: << le sac est accepté à l'issue du contrôle ».
1. Déduire de ces informations figurant dans l'énoncé : P(D), P(A), P(A).
2. a) Déterminer P(A).
b) Calculer P(AD) et P(AD).
3. Déduire de ce qui précède P(A).
4. Calculer la probabilité qu'un sac soit défectueux sachant qu'il a été accepté par le contrôle. Arrondir à 10-3.
Dans les parties B et C, les résultats approchés sont à arron- dir à 10-2.
B. Loi binomiale
On note E l'événement : « Un sac prélevé au hasard dans une grosse livraison pour une municipalité n'a pas de défaut >».
On suppose que la probabilité de E est 0,97.
On prélève au hasard 10 sacs de cette livraison pour vérifi- cation. La livraison est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 sacs.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 sacs, associe le nombre de sacs sans défaut de ce pré- lèvement.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X et déterminer ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que dans un tel événement, tous les sacs soient sans défaut.
3. Calculer la probabilité que dans un tel événement, exac- tement 9 sacs soient sans défaut.
4. Calculer la probabilité que dans un tel événement, au moins 9 sacs soient sans défaut.
C. Loi normale
Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque sac prélevé au hasard dans la production, associe la masse maximale, er kilogrammes, qu'il peut supporter sans se déchirer.
On suppose que Y suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart type 0,4. م
1. Calculer P (4,6 ≤Y ≤5,4).
2. Déterminer le nombre réel positif h tel que:
P (5-h≤Y≤5+h) ≈ 0,95 Interpréter le résultat obtenu à l'aide d'une phrase.
