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Sagot :
2.
a. Pour calculer \( u_0 \) et \( u_1 \), on utilise la définition de la suite \( (u_n) \) et le fait que \( u_0 = 4 \).
\( u_0 = 4 \)
\( u_1 = u_0 + 2 = 4 + 2 = 6 \)
b. Pour vérifier si la suite est arithmétique, calculons la différence entre deux termes consécutifs :
\( u_{n+1} - u_n = (u_n + 2) - u_n = 2 \)
Comme la différence entre les termes consécutifs est constante (égale à 2), la suite \( (u_n) \) est arithmétique.
c. Si \( u_0 = \alpha \), alors \( u_1 = \alpha + 2 \).
3. Pour la suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = \frac{e^{\frac{u_n}{9}}}{e^{\frac{-u_n}{9}}} \), nous devons simplement remplacer \( u_n \) par sa valeur. Donc, nous avons :
\( v_1 = \frac{e^{\frac{6}{9}}}{e^{\frac{-6}{9}}} \)
Pour simplifier, \( e^{\frac{6}{9}} = e^{\frac{2}{3}} \) et \( e^{\frac{-6}{9}} = e^{-\frac{2}{3}} \), donc :
\( v_1 = \frac{e^{\frac{2}{3}}}{e^{-\frac{2}{3}}} \)
\( v_1 = e^{\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})} = e^{\frac{4}{3}} \)
Vous pouvez continuer à calculer les autres termes de la suite \( (v_n) \) de la même manière.
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