Bien sûr, je peux vous aider avec cet exercice.
1) Pour trouver la valeur de \( u_0 \) et calculer \( u_1 \) et \( u_2 \), nous utilisons l'objectif d'augmentation de 4 % par an.
\( u_0 \) est la production initiale en 2018, donc \( u_0 = 5000 \) unités.
Pour calculer \( u_1 \), nous utilisons l'augmentation de 4 % par rapport à \( u_0 \) :
\[ u_1 = u_0 + 4\% \cdot u_0 \]
\[ u_1 = 5000 + 0.04 \cdot 5000 = 5200 \]
De même, pour calculer \( u_2 \), nous utilisons l'augmentation de 4 % par rapport à \( u_1 \) :
\[ u_2 = u_1 + 4\% \cdot u_1 \]
\[ u_2 = 5200 + 0.04 \cdot 5200 = 5408 \]
Donc, \( u_0 = 5000 \), \( u_1 = 5200 \) et \( u_2 = 5408 \).
2) Pour montrer que la suite \( (u_n) \) est géométrique, nous devons vérifier si le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
Soit \( q \) le quotient de la suite géométrique.
\[ q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \]
Pour notre suite \( (u_n) \), nous avons :
\[ q = \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{5200}{5000} = 1.04 \]
\[ q = \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}} = \frac{5408}{5200} = 1.04 \]
Comme \( q \) est constant, la suite \( (u_n) \) est géométrique et sa raison est \( q = 1.04 \).
3) La relation de récurrence pour une suite géométrique est \( u_{n+1} = u_n \cdot q \).
Donc, pour la suite \( (u_n) \) où \( q = 1.04 \), la relation de récurrence est :
\[ u_{n+1} = u_n \cdot 1.04 \]
