Bonjour,
Réponse :
a)
ABCD est un carré de côté 1 et AC est la diagonale du carré.
Le triangle ABC est rectangle en B puisque l'angle ABC est droit (puisqu'un carré a 4 côtés égaux et 4 angles droits), mais il est aussi isocèle puisque AB = BC (un carré a 4 côtés égaux).
Selon le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 1² + 1²
AC² = 1 + 1
AC² = 2
AC = √2 car une longueur > 0
b)
Puisque le triangle ABC est isocèle rectangle en B, les angles BAC et BCA sont égaux. La somme des angles d'un triangle est de 180°. Donc :
BAC = (180° - 90°) ÷ 2 = 90° ÷ 2 = 45°
On a :
cos(BAC) = AB/AC
cos(45°) = 1/√2
cos(45°) = (1 × √2)/(√2 × √2)
cos(45°) = (√2)/√4
cos(45°) = (√2)/2
c)
Dans le triangle ABC :
On sait que :
▪ cos(45°) = (√2)/2
On a aussi :
▪ sin(BAC) = BC/AC donc sin(45°) = 1/√2 = (1 × √2)/(√2 × √2) = (√2)/√4 = (√2)/2
▪ tan(BCA) = BC/AB donc tan(45°) = BC/AB = 1/1 = 1
Bonne journée !
