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Sagot :
Réponse :
Bonjour,
Pour montrer que l'aire du rectangle \( BCEF \) s'exprime par la formule \( A = (2x-3)^2 - (2x-3)(x+1) \), commençons par calculer l'aire du rectangle \( BCEF \).
L'aire d'un rectangle se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur. Dans notre cas, la longueur \( BE = CD \) est égale au côté du carré, donc \( BE = CD = 2x - 3 \). La largeur \( EF \) est égale à la largeur du rectangle \( AFED \), donc \( EF = AF = x + 1 \).
Ainsi, l'aire du rectangle \( BCEF \) est :
\[ A = BE \times EF = (2x - 3) \times (x + 1) \]
Maintenant, nous allons développer cette expression :
\[ A = (2x - 3) \times (x + 1) \]
\[ A = 2x(x + 1) - 3(x + 1) \]
\[ A = 2x^2 + 2x - 3x - 3 \]
\[ A = 2x^2 - x - 3 \]
Maintenant, pour montrer que cette expression est équivalente à \( (2x-3)^2 - (2x-3)(x+1) \), commençons par développer \( (2x-3)^2 \) :
\[ (2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) \]
\[ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 6x - 6x + 9 \]
\[ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \]
Maintenant, développons \( (2x-3)(x+1) \) :
\[ (2x - 3)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 3x - 3 \]
\[ (2x - 3)(x + 1) = 2x^2 - x - 3 \]
Maintenant, soustrayons \( (2x-3)(x+1) \) de \( (2x-3)^2 \) :
\[ (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 1) = (4x^2 - 12x + 9) - (2x^2 - x - 3) \]
\[ (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 1) = 4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 + x + 3 \]
\[ (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 1) = 2x^2 - 12x + 9 + x + 3 \]
\[ (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 1) = 2x^2 - 11x + 12 \]
On remarque que \( 2x^2 - 11x + 12 \) est bien équivalent à \( 2x^2 - x - 3 \), donc \( A = (2x-3)^2 - (2x-3)(x+1) \).
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