1. Montrons que \((p(0+1)-p(0)) + (p(1+1)-p(1)) + ... + (p(n-1)-p(n)) = p(n) - p(0)\).
Notons \(S\) la somme de gauche, alors \(S\) se simplifie en \(p(1) - p(0) + p(2) - p(1) + ... + p(n) - p(n-1)\), où la plupart des termes se simplifient, laissant \(S = p(n) - p(0)\).
2a. Cherchons un trinôme \(Q(x)\) tel que \(Q(x+1) - Q(x) = x^2\).
Supposons \(Q(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Alors, \(Q(x+1) - Q(x)\) s'écrit comme \((a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) + d) - (ax^3 + bx^2 + cx + d)\). Simplifions cela et égalons-le à \(x^2\) pour déterminer les coefficients \(a\), \(b\), \(c\), et \(d\).
Après les calculs, on trouve que \(Q(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x\) est une solution.
b. Utilisons \(Q(x)\) pour montrer que \(1^2 + 2^2 + ... + n^2 = Q(n) - Q(0)\).
Nous avons \(1^2 + 2^2 + ... + n^2 = Q(1) - Q(0) + Q(2) - Q(1) + ... + Q(n) - Q(n-1)\), ce qui se simplifie en \(Q(n) - Q(0)\).
c. En utilisant la formule \(Q(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x\), nous obtenons \(Q(n) - Q(0) = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n\). Simplifions cela pour obtenir la formule finale \(1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
