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Exercice 1: Vieille technologique en mathématiques.
rechercher sur internet ou youtube : la résolution d'équation différentielle linéaire du premier ordre
à coefficient constant avec second membre.
Exemple: y'+3y = 12, la solution est y(x)= k exp(-3x) +4 où k est dans R.
Le réel k peut être déterminé si on a une condition par exemple y(0)=6.
En remplaçant x=0, on a y(0)-k exp(-3x0) + 4 = k +4 or y(0)-6 d'où k+4=6 soit k=2
conclusion la solution y' +3y = 12 et y(0)-6 est y(x)= 2exp(-3x) +4 sur R.
Question:
Justifier la présence du 4 dans la solution générale y(x)= k exp(-3x) + 4 de y' +3y = 12.
Exercice 2:
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225 °C.
On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction f définie et dérivable
sur l'intervalle [0; +[. Dans cette modélisation, f(t) représente la température en degré
Celsius de la baguette au bout de la durée t, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, ƒ(0,5) représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du
four.
Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25 °C.
On admet alors que la fonction f est solution de l'équation différentielle '+6y= 150.
a. Préciser la valeur de f(0).
b. Résoudre l'équation différentielle y' + 6y = 150.
c. En déduire que pour tout réel t≥0, on a f(t) = 200 est + 25.
Exercice 3:
On considère l'équation différentielle:
(E): y'+y=e¯*
1. Soit u la fonction définie sur R par u(x) = xe™*.
Vérifier que la fonction u est une solution de l'équation différentielle (E).
2. On considère l'équation différentielle (E'): y'+y=0.
Résoudre l'équation différentielle (E') sur R.
3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E) sur R.
4. Déterminer l'unique solution g de l'équation différentielle (E) telle que g(0) = 2.
Svp !

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Sagot :

Exercice 1:
Pour justifier la présence du 4 dans la solution générale \( y(x) = k \exp(-3x) + 4 \) de \( y' + 3y = 12 \), il faut comprendre que le 4 est une constante d'intégration qui apparaît lors de la résolution de l'équation différentielle. Lorsque l'on intègre \( y' + 3y = 12 \), on obtient \( y = k \exp(-3x) + C \), où \( C \) est une constante d'intégration. Pour trouver la valeur de cette constante, on utilise une condition initiale, par exemple \( y(0) = 6 \), ce qui donne \( 6 = k \exp(0) + C \). En substituant \( x = 0 \), on trouve \( 6 = k + C \), d'où \( C = 6 - k \). Donc, la solution générale devient \( y(x) = k \exp(-3x) + (6 - k) \). En simplifiant, on obtient \( y(x) = k \exp(-3x) + 6 - k \), ce qui est équivalent à \( y(x) = k \exp(-3x) + 4 \).

Exercice 2:
a. Pour \( t = 0 \), la température de la baguette est la même que la température du four, donc \( f(0) = 225 \) °C.
b. Pour résoudre l'équation différentielle \( y' + 6y = 150 \), on peut utiliser la méthode de séparation des variables ou la méthode des facteurs intégrants. En utilisant la méthode de séparation des variables, on trouve \( y(t) = 200 - 175 \exp(-6t) \).
c. En remplaçant \( t \) par \( +\infty \), on obtient \( f(t) = 200 - 175 \exp(-6 \times \infty) = 200 - 175 \times 0 = 200 \) °C. Donc, la température de la baguette tend vers 200 °C à long terme, en tenant compte de la température ambiante de 25 °C.

Exercice 3:
1. Pour vérifier que \( u(x) = x \exp(x) \) est une solution de l'équation différentielle \( y' + y = e^x \), il suffit de substituer \( u \) dans l'équation et de vérifier si l'égalité est satisfaite.
2. L'équation différentielle \( y' + y = 0 \) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant sans second membre. Sa solution générale est \( y(x) = Ce^{-x} \), où \( C \) est une constante arbitraire.
3. Pour trouver toutes les solutions de l'équation différentielle \( y' + y = e^x \), on peut ajouter la solution particulière \( u(x) = x \exp(x) \) à la solution générale de l'équation homogène \( y' + y = 0 \). Donc, toutes les solutions de l'équation sont de la forme \( y(x) = Ce^{-x} + x \exp(x) \), où \( C \) est une constante arbitraire.
4. Pour déterminer l'unique solution \( g \) de l'équation différentielle \( y' + y = e^x \) telle que \( g(0) = 2 \), on peut utiliser la solution générale et la condition initiale pour trouver la valeur de \( C \). Ensuite, on substitue cette valeur dans la solution générale pour obtenir \( g(x) \).
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