Réponse:
Bonjour voici l exercice 4:
Pour démontrer que la suite \((V_n)\) est géométrique, montrons que le quotient \(\frac{V_{n+1}}{V_n}\) est constant.
Soit \(r\) la raison de la suite arithmétique \((V_n)\), et \(t_0\) son premier terme. Donc, \(V_n = t_0 + nr\).
Calculons \(V_{n+1}\):
\[V_{n+1} = t_0 + (n+1)r\]
Maintenant, évaluons le quotient:
\[\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{t_0 + (n+1)r}{t_0 + nr}\]
Simplifions cette expression:
\[\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{t_0 + nr + r}{t_0 + nr} = \frac{V_n + r}{V_n}\]
Puisque \(\frac{V_{n+1}}{V_n}\) ne dépend pas de \(n\), la suite \((V_n)\) est géométrique.
Maintenant, identifions le premier terme et la raison de la suite géométrique \((V_n)\). Comparons \(\frac{V_{n+1}}{V_n}\) avec la formule générale d'une suite géométrique \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = q\):
\[q = \frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{V_n + r}{V_n}\]
Cela implique que \(q = 1 + \frac{r}{V_n}\).
Puisque \(q\) est constant, cela signifie que \(\frac{r}{V_n}\) est constant. Donc, \(r\) doit être constant, ce qui indique que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(r\).
La première terme de la suite géométrique est \(t_0 + r\), où \(t_0\) est le premier terme de la suite arithmétique.
