1. Pour résoudre l'équation \(5x^2 - 3\sqrt{5}x + 2 = 0\) dans \( \mathbb{R} \), vous pouvez utiliser la méthode de résolution des équations quadratiques. Utilisez la formule quadratique \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) où \(a = 5\), \(b = -3\sqrt{5}\), et \(c = 2\).
2. Pour résoudre l'inéquation \(5x^7 - 3\sqrt{5}x + 2 < 0\) dans \( \mathbb{R} \), vous pouvez utiliser la méthode de test de signe ou la méthode des intervalles.
3. Pour prouver que \(\cos(a) + \sin(a)^2 = 1 + 2\cos(a)\), vous pouvez utiliser les identités trigonométriques telles que \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\) et \(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)\).
4. Une fois que vous avez prouvé l'identité, vous pouvez utiliser les valeurs de \(\cos(a) + \sin(a)^2\) pour déduire la valeur de \(\cos(a) + \sin(a)\).
5. Pour montrer que \(\cos(a)\) et \(\sin(a)\) sont des solutions de l'équation \(5x^2 - 3\sqrt{5}x + 2 = 0\), vous pouvez substituer \(\cos(a)\) et \(\sin(a)\) dans l'équation et vérifier si elle est satisfaite.
6. Enfin, sachant que \(\sin(a) < \cos(a)\), vous pouvez déterminer la valeur de \(\cos(a)\) et \(\sin(a)\) en résolvant l'inéquation \(5x^7 - 3\sqrt{5}x + 2 < 0\) et en utilisant la relation entre \(\cos(a)\) et \(\sin(a)\).
