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Sagot :
Explications étape par étape:
Pour étudier la fonction \( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5} \), examinons différents aspects de la fonction :
1. **Domaine de définition :** La fonction racine carrée \(\sqrt{u}\) est définie uniquement pour \( u \geq 0 \). Ainsi, le radicand \( x^2 - 2x + 5 \) doit être positif ou nul. Vous pouvez résoudre l'inéquation \( x^2 - 2x + 5 \geq 0 \) pour trouver le domaine de définition.
2. **Continuité :** La fonction est une composition de fonctions continues (racine carrée, polynôme), elle est donc continue dans son domaine.
3. **Dérivabilité :** Vous pouvez dériver la fonction \( f(x) \) pour étudier ses variations et les points critiques.
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x + 5}} \cdot (2x - 2) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}} \)
La dérivée existe pour tous les \( x \) dans le domaine de définition.
4. **Points critiques :** Trouvez les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) n'existe pas. Ces points peuvent être des points critiques.
\( \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}} = 0 \) lorsque \( x = 1 \).
5. **Variations :** Utilisez les signes de \( f'(x) \) pour déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
- \( f'(x) > 0 \) lorsque \( x < 1 \), donc la fonction est croissante sur \((-\infty, 1)\).
- \( f'(x) < 0 \) lorsque \( x > 1 \), donc la fonction est décroissante sur \((1, \infty)\).
6. **Signe de la fonction :** Utilisez les variations de la fonction pour déterminer les intervalles où la fonction est positive ou négative.
7. **Asymptotes :** Recherchez des asymptotes verticales si le dénominateur de la dérivée s'annule.
Ces étapes vous permettront d'obtenir une vue complète de la fonction \( f(x) \) et de son comportement dans son domaine de définition.
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