Soit S le centre de la boule posée sur les 3 autres et A, B et C les centres des 3 autres boules.
SABC est un tetraèdre régulier dont les faces sont des triangles équilatéraux de côté 6,7 cm.
On cherche d'abord la hauteur SO du tétraèdre, O étant le centre de ABC.
Dans un triangle équilatéral, la médiane, la médiatrice et la hauteur sont confondues.
La hauteur issue de n'importe quelle sommet du triangle ABC coupe le côté opposé en son milieu.
Donc par Pythagore, on peut calculer sa longueur (on suppose qu'elle est issue de A et on note H son pied sur BC)
AH²+HB²=AB²
HB=6,7/2=3,35
Donc AH²=6,7²-3,35²=33,6675
Le centre O du triangle ABC est au 2/3 de la médiane donc AO=2/3*AH
SOA est un triangle rectangle en O donc
SO²+OA²=SA²
Soit SO²=SA²-OA²=6,7²-4/9*AH²≈29,93
Donc SO≈5,5 cm
La hauteur de S jusqu'au sommet de la boule est égale à son rayon soit 6,7/2
La hauteur de O par rapport au sol est égale au rayon d'une boule soit 6,7/2
donc la hauteur de l’empilement est 5,5+6,7=12,2 cm
