Exercice 1 (3,5 points)
ABC est un triangle.
1) construire le barycentre G de (A,2), (B,3) et (C,1).
2) Soit D, le milieu du segment [BC]
Montrer que vecteurGD=1/2(vecteurGB+vecteurGC)
3) En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABD.Exercice 2 ( 7 points )
Etant donné un rectangle ABCD, on appellera E et F les points définis par :
VectAE=3vectAD et vectBF=3/2vect BF
1) Déterminer des réels a,b,c,d tels que le point D soit me barycentre de (A,a), (E,b) et que le point C soit le barycentre de (B,c), (F,d).
2) Soit G le barycentre de (A,2) (B,2), (E,1) et (F,4). Montrer que G appartient à la droite (DC).
3) a) Montrer vectDE =-2vectCB
b) en déduire que G est le barycentre de E et de B affectés de coefficient que l’on précisera.
c) Montrer que les trois droites (AF), (DC) et (BE) sont concourantes.
4) Soit I le milieu de [AB]. La droite (IG) coupe la droite (EF) en un point J. Déterminer le réel k tel que vectFJ=k vectFE. (Considerer le barycentre J’ de (E,1), (F,4) et prouver que J’=J.)Exercice 3 (5 points)
On considère un parallélogramme ABCD et les points E et F définis par vectDF=2/3vectAB et vectAE=3/4 vectAD.
La parallèle à (AD) passant par F coupe la parallèle à (AB) passant par E en G.
On se propose de montrer que les droites (AF), (CE), et (BG) sont concourantes. Pour cela : on suppose le plan rapporté au repère (A, vectAB, vectAD)
1) Donner les coordonnés des points A, B, C, D, E, F, G.
2) Déterminer une équation de la droite (AF) et une équation de la droite (CE). En déduire les coordonnées de leur point d’intersection I.
3) Démontrer que le point I appartient à la droite (BG).
4) On suppose dans cette question que vectAE=-1/2vectAD, tous les autres points étant définis comme ci-dessus. Que dire alors des droites (AF), (CE) et (BG).
Exercice 4 (4,5 points)
On se propose dans cet exercice de déterminer l’ensemble des entiers relatifs x et y, de valeur absolue inférieure ou égale à 3 tels que x(x+2)=(y-1)(y+1) (1)
1) Montrer que la relation (1) est vrai si et seulement si :
(x+1-y)(x+1+y)=0
2) tracer dans le plan muni d’un repère orthonormé (0, vect i, vect j ), les droites (D1) et (D2) d’équation respectives y=x+1 et y=-x-1
3) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du problème posé.
4) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du système {x au carré-y au carré+2x+1supérieur ou égal à 0
Valeur absolue de x inférieur ou égal à 3
Valeur absolue de y inférieur ou égal à 3
