Devoir maison de mathématiques n° 8
fère spé
Exercice 1 En utilisant une différence
La suite (un) est définie par un =
3n-2/n+1 pour tout entier naturel n.
1) a) Donner les valeurs de uo et de u1
b) A l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture sur le sens de variation et la limite de cette suite.
2) Etudier le signe de Un+1 - Un. En déduire le sens de variation de la suite (un)
3) a) Calculer et étudier le signe de un - 3
b) Montrer que pour tout n E N, - 2 ≤ un ≤ 3
Exercice 2 En utilisant un quotient
Soit la suite (Un) définie sur N* par Un =
12
On admet que pour tout n E N*, Un est positif
1) A l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite.
-n2+2n+1
2) Montrer que
0mt1-1=-
2n2
3) a) Etudier le signe de -n? + 2n + 1 pour n E N*
En déduire le sens de variation de la suite (Un)
Exercice 3 En utilisant la fonction associée
1
Soit la suite (tn) définie par tn = n +
n-1
1
La fonction associée est f (x) = x +
x-1
1) Déterminer la dérivée f'(x) et montrer que f' (x)
2) a) Que peut-on dire du signe de f (x) si x ≥ 2?
b) En déduire le sens de variation de la suite (tn)
pour n ≥ 2
x2-2x
(x-1) 2
Exercice 4 Déterminer un minimum
On considère la fonction g définie sur 10; +∞[ par g (x) = 4x2 - x - Vx Le but de l'exercice est de déterminer le minimum de g (x) sur 10; +∞ol
(16x-2) Vx-1
1) Montrer que g'(x) =
2Vx
2) Pourquoi peut-on affirmer que g'(x) est du signe de (16x - 2) Vx - 1 ?
3) On pose h(x) = (16x - 2)Vx - 1
a) Montrer que la dérivée h'(x) = 48x-2
2Vx
b) Après avoir déterminer le signe de h'(x), établir le tableau de variation de h(x)
c) Calculer h(0) et h (-). En déduire le tableau de signe de h (x)
4) a) En utilisant la réponse précédente, établir le tableau de signe de g' (x)
En déduire le tableau de variation de g (x)
b) Quel est alors le minimum de g (x) sur 10; +∞[