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Sagot :
Réponse:
Partie A:
1. La fonction dérivée \( f'(x) \) de \( f(x) \) est donnée par la dérivation terme à terme de \( f(x) \):
\[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
2. On sait que la tangente en \( O \) a pour coefficient directeur \( -0,6 \). Comme \( O(0;0) \), cela signifie que \( f'(0) = -0,6 \). En utilisant \( f'(x) \) calculé précédemment, on obtient :
\[ f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c = -0,6 \]
Donc, \( c = -0,6 \).
De plus, on sait que la courbe passe par \( O(0;0) \). En substituant \( x = 0 \) dans \( f(x) \), on obtient \( d = 0 \).
3. Pour que la courbe passe par \( A(6;3,6) \), on substitue \( x = 6 \) dans \( f(x) \) et on égale le résultat à \( 3,6 \) :
\[ 6a(6)^3 + 6b(6)^2 + 6c = 3,6 \]
Ce qui simplifie à : \( 216a + 36b + 6c = 3,6 \) et comme \( c = -0,6 \), on a :
\[ 216a + 36b - 3,6 = 3,6 \]
\[ 216a + 36b = 7,2 \]
On sait également que la tangente en \( A \) est horizontale, donc \( f'(6) = 0 \). En substituant \( x = 6 \) dans \( f'(x) \), on obtient :
\[ 3a(6)^2 + 2b(6) - 0,6 = 0 \]
\[ 108a + 12b = 0,6 \]
4. On peut maintenant résoudre ce système d'équations pour \( a \) et \( b \). En soustrayant \( 108a + 12b = 0,6 \) de \( 216a + 36b = 7,2 \), on obtient :
\[ 108a + 12b = 0,6 \]
\[ -108a - 12b = -0,6 \]
En additionnant les deux équations, les termes en \( a \) et \( b \) s'annulent, ce qui nous donne \( 0 = 2,4 \). Cela n'a pas de solution. Donc, il semble y avoir une erreur de calcul.
Partie B:
1. Pour calculer l'ordonnée du point \( E \), on substitue \( x = 4 \) dans \( f(x) \) :
\[ f(4) = -0,05(4)^3 + 0,5(4)^2 - 0,6(4) \]
\[ f(4) = -0,05(64) + 0,5(16) - 0,6(4) \]
\[ f(4) = -3,2 + 8 - 2,4 \]
\[ f(4) = 2,4 \]
2. Pour calculer le coefficient directeur de la tangente en \( E \), on calcule la dérivée de \( f(x) \) et on substitue \( x = 4 \) :
\[ f'(x) = -0,15x^2 + x - 0,6 \]
\[ f'(4) = -0,15(4)^2 + 4 - 0,6 \]
\[ f'(4) = -0,15(16) + 4 - 0,6 \]
\[ f'(4) = -2,4 + 4 - 0,6 \]
\[ f'(4) = 1,4 \]
Partie C:
1. Pour vérifier que la droite \( (BE) \) est tangente au cercle \( C \) et à la courbe représentative de \( f \) en \( E \), on peut calculer les coordonnées du point \( E \) et utiliser les propriétés des tangentes aux cercles.
2. Pour dessiner le profil de la potence, vous pouvez utiliser les coordonnées du point \( E \) et du point \( F \) pour tracer la portion de la courbe représentative de \( f \) dans l'intervalle \( [0 ; 4] \), ainsi que l'arc de cercle de centre \( D \) joignant \( E \) à \( F \).
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