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Réponse:
**1. Démonstration de la recette de l'hôtelier :**
Lorsque le nombre de chambres louées \( N \) est strictement supérieur à 30, le prix de chaque chambre est diminué de \( 0,8(N-30) \) euros.
Le prix initial d'une chambre est de 64 euros par nuitée.
Donc, le prix d'une chambre louée lorsque \( N > 30 \) est de \( 64 - 0,8(N-30) = 64 - 0,8N + 24 = 88 - 0,8N \) euros.
La recette de l'hôtelier par jour est alors le produit du nombre de chambres louées \( N \) par le prix de chaque chambre \( 88 - 0,8N \), soit :
\( \text{Recette} = N \times (88 - 0,8N) \)
En développant cette expression, on obtient :
\( \text{Recette} = 88N - 0,8N^2 \)
Ainsi, la recette de l'hôtelier par jour est égale à \( -0,8N^2 + 88N \) pour \( N \) supérieur à 30.
**2. Calcul de la dérivée de la fonction \( f \) et variations de \( f \) :**
a. La fonction \( f(x) = -0,8x^2 + 88x \)
La dérivée de \( f(x) \) par rapport à \( x \) est :
\( f'(x) = -1,6x + 88 \)
b. Les variations de la fonction \( f \) :
- La dérivée \( f'(x) \) est négative lorsque \( -1,6x + 88 < 0 \), donc lorsque \( x > \frac{88}{1,6} = 55 \).
- La dérivée \( f'(x) \) est positive lorsque \( -1,6x + 88 > 0 \), donc lorsque \( x < \frac{88}{1,6} = 55 \).
Donc, la fonction \( f \) est décroissante pour \( x > 55 \) et croissante pour \( x < 55 \).
**3. Nombre de chambres louées pour la plus grande recette :**
La fonction \( f(x) \) est décroissante pour \( x > 55 \) et croissante pour \( x < 55 \). Donc, la plus grande recette est atteinte lorsque \( N = 55 \) chambres sont louées.