Réponse:
1) On rappelle qu'on ne peut pas diviser par 0. Ainsi, dans la fraction (x-7)/(x+9) le dénominateur x+9 ≠ 0 donc x ≠ -9. Ainsi, x ne peut pas prendre la valeur -9.
2) On a (x-7)/(x+9) ≥ 2. Pour ramener le tout à une forme où A(x) ≥ 0 ; il faut passer tout à un seul membre. On obtient : (x-7)/(x+9) - 2 ≥ 0.
3) on a trouvé que A(x) = (x-7)/(x+9) - 2. On résout de cette manière l'inéquation :
[tex] \frac{x - 7}{x + 9} - 2 \geqslant 0[/tex]
donc
[tex] \frac{x - 7}{x + 9} - \frac{2 \times (x + 9)}{x + 9} \geqslant 0[/tex]
donc
[tex] \frac{x - 7 - 2x - 18}{x + 9} \geqslant 0[/tex]
donc
[tex] \frac{ - x - 25}{x + 9} \geqslant 0[/tex]
on étudie le signe de
f(x) = -x-25 et g(x) = x+9
on cherche leur racine :
f(x) = 0 soit -x-25 = 0 donc -25 = x
g(x) = 0 soit x+9 = 0
On obtient le tableau de signe suivant (tableau de signe dans la photo)
Ainsi, A(x) ≥ 0 quand x € ]-∞ ; -25] U ]-9 ; +∞[
