👤

Connectez-vous avec des experts et des passionnés sur FRstudy.me. Explorez une grande variété de sujets et trouvez des réponses fiables auprès de nos membres de la communauté expérimentés.

On considère la matrice
A = 2 0 1
0 2 0
0 0 2

1. Calculer les matrices A^2 , A^3 , A^4 , A^5 ( déjà fait )
2. Conjecturer une formule permettant de calculer en fonction de n les coefficients diagonaux de A^n
3. Conjecturer une formule permettant de calculer en fonction de n le dernier coefficient non nul de A^n
4. Écrire alors la matrice A^n en fonction de n
5. Démontrer la conjecture faite à la question précédente

Si quelqu’un peut m’aider s’il vous plaît


Sagot :


1. Vous avez déjà calculé les puissances d'A jusqu'à A^5.

2. Pour conjecturer une formule pour les coefficients diagonaux de A^n, observez que chaque puissance d'A multiplie la diagonale de la matrice A par le coefficient correspondant. Ainsi, les coefficients diagonaux de A^n seront tous égaux à \(2^n\).

3. Pour conjecturer une formule pour le dernier coefficient non nul de A^n, observez que la dernière colonne de A est composée de zéros, à l'exception du dernier élément qui est toujours égal à 2^n.

4. En fonction de vos conjectures, la matrice A^n sera une matrice diagonale avec des coefficients diagonaux égaux à \(2^n\) et le dernier coefficient non nul sera également \(2^n\).

5. Pour démontrer la conjecture, vous pouvez utiliser une induction mathématique. Montrez que la formule est vraie pour n = 1, puis supposez que c'est vrai pour n = k, et démontrez que c'est également vrai pour n = k + 1. Cela établira la validité de la conjecture pour toutes les puissances de A.

Si vous avez des questions spécifiques sur l'une des étapes, n'hésitez pas à demander des éclaircissements.