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On considère la matrice
A = 2 0 1
0 2 0
0 0 2

1. Calculer les matrices A^2 , A^3 , A^4 , A^5 ( déjà fait )
2. Conjecturer une formule permettant de calculer en fonction de n les coefficients diagonaux de A^n
3. Conjecturer une formule permettant de calculer en fonction de n le dernier coefficient non nul de A^n
4. Écrire alors la matrice A^n en fonction de n
5. Démontrer la conjecture faite à la question précédente

Si quelqu’un peut m’aider s’il vous plaît


Sagot :

Spahiuarnis8

1. Vous avez déjà calculé les puissances d'A jusqu'à A^5.

2. Pour conjecturer une formule pour les coefficients diagonaux de A^n, observez que chaque puissance d'A multiplie la diagonale de la matrice A par le coefficient correspondant. Ainsi, les coefficients diagonaux de A^n seront tous égaux à \(2^n\).

3. Pour conjecturer une formule pour le dernier coefficient non nul de A^n, observez que la dernière colonne de A est composée de zéros, à l'exception du dernier élément qui est toujours égal à 2^n.

4. En fonction de vos conjectures, la matrice A^n sera une matrice diagonale avec des coefficients diagonaux égaux à \(2^n\) et le dernier coefficient non nul sera également \(2^n\).

5. Pour démontrer la conjecture, vous pouvez utiliser une induction mathématique. Montrez que la formule est vraie pour n = 1, puis supposez que c'est vrai pour n = k, et démontrez que c'est également vrai pour n = k + 1. Cela établira la validité de la conjecture pour toutes les puissances de A.

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