1. Vous avez déjà calculé les puissances d'A jusqu'à A^5.
2. Pour conjecturer une formule pour les coefficients diagonaux de A^n, observez que chaque puissance d'A multiplie la diagonale de la matrice A par le coefficient correspondant. Ainsi, les coefficients diagonaux de A^n seront tous égaux à \(2^n\).
3. Pour conjecturer une formule pour le dernier coefficient non nul de A^n, observez que la dernière colonne de A est composée de zéros, à l'exception du dernier élément qui est toujours égal à 2^n.
4. En fonction de vos conjectures, la matrice A^n sera une matrice diagonale avec des coefficients diagonaux égaux à \(2^n\) et le dernier coefficient non nul sera également \(2^n\).
5. Pour démontrer la conjecture, vous pouvez utiliser une induction mathématique. Montrez que la formule est vraie pour n = 1, puis supposez que c'est vrai pour n = k, et démontrez que c'est également vrai pour n = k + 1. Cela établira la validité de la conjecture pour toutes les puissances de A.
Si vous avez des questions spécifiques sur l'une des étapes, n'hésitez pas à demander des éclaircissements.
