Bonjour
1) a. Nous ponvons conjecturer que f est croissante sur
[-2 ; -1/2] et sur [1/2 ; 2]
f est décroissante sur [-1/2 ; 1/2]
g est croissante sur [-2 ; 2]
b. f(x) = x³ - x f'(x) = 3x² - 1
g(x) = x³ + x g'(x) = 3x² + 1
c. On résout f'(x) ≥ 0
3x² - 1 ≥ 0 3x² ≥ 1 x² ≥ 1/3
x ≥ √(1/3) ou x ≤ -√(1/3) √(1/3) ≈ 0,58
[tex] \sqrt{ \frac{1}{3} } = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{3} [/tex]
donc f est croissante sur [-2 ; -(√3)/3] et sur [2 ; (√3)/3]
f est décroissante sur [-(√3)/3 ; (√3)/3]
Cohérent avec notre conjecture
g'(x) = 3x² + 1
x² ≥ 0
3x² ≥ 0
3x² + 1 ≥ 1 > 0
donc g'(x) > 0
g est strictement croissante
confirme notre conjecture
2) a. h(x) = x³ - ax k(x) = x³ + ax a > 0
h'(x) = 3x² - a
On résout h'(x) ≥ 0
3x² - a ≥ 0 3x² ≥ a x² ≥ a/3
x ≥ √(a/3) ou x ≤ -√(a/3)
[tex] \sqrt{ \frac{a}{3} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} \sqrt{a} }{3} = \frac{ \sqrt{3a} }{3} [/tex]
h est croissante sur ]-oo ; -(√3a)/3] et sur [(√3a)/3 ; +oo[
h est décroissante sur [-(√3a)/3 ; (√3a)/3]
k'(x) = 3x² + a
x² ≥ 0
3x² ≥ 0
3x² + a ≥ a > 0
donc k'(x) > 0
k est strictement croissante
b. f et g sont les cas où a vaut 1
