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Sagot :
Bonjour,
Pour montrer que la droite \( (CE) \) est la médiatrice de \( [AB] \), nous devons démontrer deux choses :
1. La droite \( (CE) \) passe par le milieu de \( [AB] \).
2. La droite \( (CE) \) est perpendiculaire à \( [AB] \).
Comme \( ABC \) est un triangle isocèle en \( C \), la médiatrice de \( [AB] \) passera par le milieu de \( [AB] \) (appelons ce point \( M \)) et sera perpendiculaire à \( [AB] \). De même, comme \( ABE \) est un triangle isocèle en \( E \), la médiatrice de \( [AB] \) passera également par le milieu de \( [AB] \) (qui est également \( M \)) et sera perpendiculaire à \( [AB] \). Puisque les deux médiatrices passent par le même point \( M \) et sont toutes deux perpendiculaires à \( [AB] \), elles coïncident et forment la droite \( (CE) \), qui est donc la médiatrice de \( [AB] \).
Pour montrer que la droite \( (CE) \) est la médiatrice de \( [AB] \), nous devons démontrer deux choses :
1. La droite \( (CE) \) passe par le milieu de \( [AB] \).
2. La droite \( (CE) \) est perpendiculaire à \( [AB] \).
Comme \( ABC \) est un triangle isocèle en \( C \), la médiatrice de \( [AB] \) passera par le milieu de \( [AB] \) (appelons ce point \( M \)) et sera perpendiculaire à \( [AB] \). De même, comme \( ABE \) est un triangle isocèle en \( E \), la médiatrice de \( [AB] \) passera également par le milieu de \( [AB] \) (qui est également \( M \)) et sera perpendiculaire à \( [AB] \). Puisque les deux médiatrices passent par le même point \( M \) et sont toutes deux perpendiculaires à \( [AB] \), elles coïncident et forment la droite \( (CE) \), qui est donc la médiatrice de \( [AB] \).
Pour montrer que la droite (CE) est la médiatrice du segment [AB], nous devons démontrer que (CE) est à la fois perpendiculaire à [AB] et qu'elle passe par le milieu de [AB].
Étant donné que ABC est un triangle isocèle en C et ABE est un triangle isocèle en E, nous pouvons en déduire que les angles ACB et AEB sont égaux.
1. Montrons d'abord que (CE) est perpendiculaire à [AB] :
Puisque ABC est un triangle isocèle, les angles ACB et ABC sont égaux. De même, dans le triangle ABE, les angles AEB et EAB sont égaux.
Par conséquent, les angles ACB et AEB sont égaux, ce qui signifie que le quadrilatère ACBE est un quadrilatère cyclique.
Dans un quadrilatère cyclique, les angles opposés sont supplémentaires. Ainsi, les angles ACB et AEB sont supplémentaires, ce qui implique que ACB et AEB sont droits.
Donc, (CE) est perpendiculaire à [AB].
2. Ensuite, démontrons que (CE) passe par le milieu de [AB] :
Puisque ABC est isocèle, CB = CA.
De même, dans le triangle ABE, AE = AB.
Ainsi, (CE) est également la médiane du triangle ABC, car elle relie un sommet au milieu du côté opposé. Donc, (CE) passe par le milieu de [AB].
Puisque (CE) est à la fois perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu, elle est donc la médiatrice de [AB].
Étant donné que ABC est un triangle isocèle en C et ABE est un triangle isocèle en E, nous pouvons en déduire que les angles ACB et AEB sont égaux.
1. Montrons d'abord que (CE) est perpendiculaire à [AB] :
Puisque ABC est un triangle isocèle, les angles ACB et ABC sont égaux. De même, dans le triangle ABE, les angles AEB et EAB sont égaux.
Par conséquent, les angles ACB et AEB sont égaux, ce qui signifie que le quadrilatère ACBE est un quadrilatère cyclique.
Dans un quadrilatère cyclique, les angles opposés sont supplémentaires. Ainsi, les angles ACB et AEB sont supplémentaires, ce qui implique que ACB et AEB sont droits.
Donc, (CE) est perpendiculaire à [AB].
2. Ensuite, démontrons que (CE) passe par le milieu de [AB] :
Puisque ABC est isocèle, CB = CA.
De même, dans le triangle ABE, AE = AB.
Ainsi, (CE) est également la médiane du triangle ABC, car elle relie un sommet au milieu du côté opposé. Donc, (CE) passe par le milieu de [AB].
Puisque (CE) est à la fois perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu, elle est donc la médiatrice de [AB].
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