Pour déterminer le nombre total de tuyaux dans un empilement de 5 couches et 12 couches, on peut utiliser la formule de la somme des \( n \) premiers termes d'une suite arithmétique, où \( n \) représente le nombre de couches.
1. Pour 5 couches :
On a une suite arithmétique avec un premier terme \( a_1 = 1 \) (1 tuyau sur la première couche), un dernier terme \( a_5 = 5 \) (5 tuyaux sur la cinquième couche) et un nombre total de termes \( n = 5 \). Utilisant la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, on a :
\[ S_5 = \frac{n}{2}(a_1 + a_5) \]
\[ S_5 = \frac{5}{2}(1 + 5) = \frac{5}{2} \times 6 = 15 \]
2. Pour 12 couches :
De manière similaire, on a :
\[ S_{12} = \frac{12}{2}(1 + 12) = \frac{12}{2} \times 13 = 6 \times 13 = 78 \]
Ainsi, pour un empilement de 5 couches, il y a 15 tuyaux, et pour un empilement de 12 couches, il y a 78 tuyaux.
Pour 153 tuyaux, on peut inverser la formule pour résoudre pour \( n \) :
\[ 153 = \frac{n}{2}(1 + n) \]
\[ 306 = n^2 + n \]
\[ n^2 + n - 306 = 0 \]
En résolvant cette équation quadratique, on trouve que \( n \approx 17.35 \). Puisque le nombre de couches doit être un nombre entier, nous choisissons \( n = 17 \) couches.
Donc, pour 153 tuyaux, il y a 17 couches.
