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Sagot :
Réponse:
1. Pour trouver le nombre de cartons pour lesquels le coût est de 2525 €, nous résolvons l'équation f(x) = 2525 :
\[0,25x^2 + 500 = 2525\]
\[0,25x^2 = 2025\]
\[x^2 = \frac{2025}{0,25} = 8100\]
\[x = \sqrt{8100} = 90\]
Donc, le coût est égal à 2525 € pour 90 cartons.
2. La recette \( R(x) \) est simplement le prix de vente d'un carton multiplié par le nombre de cartons vendus :
\[ R(x) = 30x \]
3.
a. La fonction bénéfice \( B(x) \) est donnée par la différence entre la recette et le coût :
\[ B(x) = R(x) - f(x) = 30x - (0,25x^2 + 500) = -0,25x^2 + 30x - 500 \]
b. Pour étudier les variations de \( B(x) \), nous allons analyser le signe de sa dérivée. En factorisant \( -0,25x^2 + 30x - 500 \), nous obtenons :
\[ -0,25x^2 + 30x - 500 = -0,25(x - 20)(x - 100) \]
La dérivée de \( B(x) \) est :
\[ B'(x) = -0,5x + 30 \]
Cette dérivée s'annule lorsque \( x = 60 \), ce qui correspond à un maximum local de la fonction bénéfice.
Ensuite, pour déterminer les variations de \( B(x) \), nous pouvons utiliser un tableau de variations.
\[
\begin{array}{c|cccc}
x & 0 & 20 & 60 & 100 & 160 \\
\hline
B'(x) & + & - & 0 & + & + \\
B(x) & -500 & -300 & ? & ? & ?
\end{array}
\]
c. Pour déterminer le nombre de cartons à vendre pour maximiser le bénéfice, nous choisissons la valeur de \( x \) correspondant au maximum de \( B(x) \), c'est-à-dire \( x = 60 \). Donc, le nombre de cartons à vendre pour maximiser le bénéfice est de 60 cartons.
Pour calculer le bénéfice maximal, nous évaluons \( B(x) \) pour \( x = 60 \) :
\[ B(60) = -0,25(60 - 20)(60 - 100) = -0,25 \times 40 \times -40 = 400 \]
Donc, le bénéfice maximal est de 400 €.
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