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Sagot :
Pour résoudre ce problème, commençons par déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X, qui représente le gain.
1. Les billets se terminant par un 5 représentent 10% des billets (10 sur 100), donc la probabilité de gagner 10 € est de 10/100 = 0,1.
2. Les billets dont le numéro commence par un 6 représentent également 10% des billets (10 sur 100), donc la probabilité de gagner 20 € est de 10/100 = 0,1.
La probabilité de ne rien gagner est de 1 - 0,1 - 0,1 = 0,8.
Maintenant, calculons l'espérance de X, qui est la somme des produits des gains possibles par leurs probabilités correspondantes :
E(X) = (0,1 * 10) + (0,1 * 20) + (0,8 * 0) = 1 + 2 + 0 = 3 €.
Interprétation : En moyenne, un joueur peut s'attendre à gagner 3 € par billet acheté.
Calculons maintenant la variance et l'écart type de X :
Var(X) = (0,1 * (10 - 3)^2) + (0,1 * (20 - 3)^2) + (0,8 * (0 - 3)^2)
= (0,1 * 49) + (0,1 * 289) + (0,8 * 9)
= 4,9 + 28,9 + 21,6
= 55,4 €^2.
σ(X) = √Var(X) = √55,4 ≈ 7,45 €.
Enfin, pour déterminer si le jeu est équitable, comparons l'espérance de X au prix du billet :
3 € (espérance de gain) - 4 € (prix du billet) = -1 €.
Comme l'espérance de gain est inférieure au prix du billet, le jeu n'est pas équitable pour le joueur.
1. Les billets se terminant par un 5 représentent 10% des billets (10 sur 100), donc la probabilité de gagner 10 € est de 10/100 = 0,1.
2. Les billets dont le numéro commence par un 6 représentent également 10% des billets (10 sur 100), donc la probabilité de gagner 20 € est de 10/100 = 0,1.
La probabilité de ne rien gagner est de 1 - 0,1 - 0,1 = 0,8.
Maintenant, calculons l'espérance de X, qui est la somme des produits des gains possibles par leurs probabilités correspondantes :
E(X) = (0,1 * 10) + (0,1 * 20) + (0,8 * 0) = 1 + 2 + 0 = 3 €.
Interprétation : En moyenne, un joueur peut s'attendre à gagner 3 € par billet acheté.
Calculons maintenant la variance et l'écart type de X :
Var(X) = (0,1 * (10 - 3)^2) + (0,1 * (20 - 3)^2) + (0,8 * (0 - 3)^2)
= (0,1 * 49) + (0,1 * 289) + (0,8 * 9)
= 4,9 + 28,9 + 21,6
= 55,4 €^2.
σ(X) = √Var(X) = √55,4 ≈ 7,45 €.
Enfin, pour déterminer si le jeu est équitable, comparons l'espérance de X au prix du billet :
3 € (espérance de gain) - 4 € (prix du billet) = -1 €.
Comme l'espérance de gain est inférieure au prix du billet, le jeu n'est pas équitable pour le joueur.
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