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Bonjour à tous, je n’arrive pas à faire cet exo qui est dans mon dm de maths!
1- (a) Démontrer que, pour tout nombre réel x positif, In (x + 1) ≤ x.
(b) En posant x = 1/n , en déduire que, pour tout entier n non nul, In (n + 1) ≤ In(n)+ 1/n
2- La fonction f est définie sur l'intervalle [ 0; + ∞ [ par f (x) = x + exp^-x
(a) Démontrer que la fonction f est croissante sur [ 0; + ∞[
(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, f(ln(n)) = In(n) +1/n
3- On considère la suite (Un) définie par u1 = 0 et, pour tout n E N*, Un+1 = Un + exp^-Un
(a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, In (n) ≤ Un
(b) En déduire la limite de la suite (Un)
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