DM Exercice 1 Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (0; 7, 7. ), on considère: D le plan dont une équation cartésienne est 2x+y-z+2=0, a le plan passant par le point B(1; 1; 2) et dont un vecteur normal est n₂-1 1. a. Donner les coordonnées d'un vecteur my normal au plan. b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan. Montrer que les plans et sont perpendiculaires. 2. a. Déterminer une équation cartésienne du plan 2. x = 0 b. On note A la droite dont une représentation paramétrique est : y = −2+1, TER. Z C Montrer que la droite A est l'intersection des plans et P. On considère le point A(1; 1; 1) et on admet que le point A n'appartient ni à 9 ni à 2. On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite A. 3. On rappelle que, d'après la question 2. b, la droite A est l'ensemble des points M, de coordon- 3 nées (0; -2+t; t), où t désigne un nombre réel quelconque. a. Montrer que, pour tout réel t, AM, = √212-81+11. b. En déduire que AH = √3. 4. On note, la droite orthogonale au plan passant par le point A et H₁ le projeté orthogonal du point A sur le plan . a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite 1. b. En déduire que le point H₁ a pour coordonnées 1 1 5' 3 3 3 5. Soit H₂ le projeté orthogonal de A sur le plan 2. On admet que H₂ a pour coordonnées (4 2 41 et que H a pour coordonnées (0; 0; 2). Sur le schéma ci-contre, les plans et Psont représentés, ainsi que les points A, H1, H2, H. Montrer que AH, HH2 est un rectangle. Hi A P2 H H2​