Une locomotive de 48 tonnes se d´eplace sur une voie ferr´ee rectiligne d’origine O. Le moteur de la
locomotive g´en`ere une force d’entraˆınement constante E~ de valeur (norme du vecteur E~ ) 36 000 kN ;
les forces de frottement F~ sont proportionnelles `a la vitesse de la locomotive, et de sens contraire `a
cette vitesse. Le coefficient de proportionnalit´e est ´egal `a 240 000 Newtons par km/h.
On note x(t) la distance, en kilom`etres, parcourue par la locomotive en fonction du temps t, en heure.
A l’instant t, sa vitesse est not´ee x
0
(t) et son acc´el´eration est not´ee x”(t).
Selon les lois de Newton, E~ + F~ = m~a, o`u le vecteur ~a repr´esente l’acc´el´eration de la locomotive et m
la masse de la locomotive en kg. Si l’on consid`ere les normes des vecteurs, on a donc k~ak = x”(t).
1. Justifier que :
48 000 x”(t) + 240 000 x'(t) = 36 000 000
2. (a) D´emontrer que le ”d´eplacement” y = x(t) est solution de l’´equation diff´erentielle
(E) : 48000y” + 240000y' = 36000000
ssi la vitesse v = x'(t) est solution de l’´equation diff´erentielle
(E') : v' = −5v + 750
(b) R´esoudre sur R l’´equation diff´erentielle (E').
(c) On suppose que l’on a les conditions initiales : x(0) = 0 et v(0) = 0 (c’est-`a-dire x'(0)=0).
En d´eduire l’expression de x(t) en fonction de t.
3. Etudier le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0; +∞[ et d´eterminer la limite dev(t) lorsque t tend vers +∞.
4. Au bout de combien de kilom`etres la vitesse de la locomotive d´epassera-t-elle 120km/h ?