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Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice svp:
On dispose d'un jeu de 52 cartes comme ci-dessus et on prélève une carte au hasard dans le paquet. On s'intéressebà deux aspects de la carte.
- Sa couleur :
• Si la carte est un coeur, on gagne 10 points
• Si la carte est un trèfle, on gagne 2 points
• Dans les autres cas, on perd 15 points
- Sa valeur :
• Si la carte est une figure ( valet, damd, roi ), on gagne 5 points
• Si la carte est un as, on gagne 2 points
• Si la carte est un 2 ou un 10, on gagne 1 point
• Si la carte est un 5, on ne gagne pas de point
• Dans les autres cas, on perd 1 point.
Soit Z la variable aléatoire correspondant au nombre de points remportés au total.
On note X et Y les variables aléatoires correspondant au nombre de points obtenus en regardant respectivement la couleur et la valeur.
1) a- Exprimer Z en fonction de X et Y.
b- Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires X et Y.
c- En déduire E(Z) puis σ(Z).
2 - On joue 5 fois de suite à ce jeu, en remettant systématiquement la carte obtenue dans le paquet et en mélangeant de nouveaubles cartes.
Pour tout entier k ∈ { 1; ... ; 5 }, on note Zk la variable aléatoire correspondant au nombre de points obtenus au k^e tirage.
Soit S la variable aléatoire corrspondant au nombre total de points obtenus à l'issue de la partie.
a - Exprimer S en fonction des variables Zk.
b- Calculer E(S) puis interpréter le résultat obtenu. Calculer σ(S).
c- On pose enfin la variable aléatoire M= ( Z1+ ... + Z5 ) ÷ 5. À quoi la variable aléatoire M correspond-elle ? Calculer σ(M).

Sagot :

Chakma1rblx

Réponse:

1)

a) Pour exprimer Z en fonction de X et Y, nous devons simplement additionner les points obtenus pour la couleur et la valeur de la carte :

\[Z = X + Y\]

b) Pour déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires X et Y, nous devons calculer la probabilité d'obtenir chaque valeur possible pour chaque variable.

Pour la variable aléatoire X (nombre de points obtenus en regardant la couleur) :

- P(X = 10) = Probabilité d'obtenir un coeur = 13/52 = 1/4

- P(X = 2) = Probabilité d'obtenir un trèfle = 13/52 = 1/4

- P(X = -15) = Probabilité d'obtenir une autre couleur = 26/52 = 1/2

Pour la variable aléatoire Y (nombre de points obtenus en regardant la valeur) :

- P(Y = 5) = Probabilité d'obtenir un 5 = 4/52 = 1/13

- P(Y = 2) = Probabilité d'obtenir un as = 4/52 = 1/13

- P(Y = 1) = Probabilité d'obtenir un 2 ou un 10 = 8/52 = 2/13

- P(Y = 5) = Probabilité d'obtenir une figure = 12/52 = 3/13

- P(Y = -1) = Probabilité d'obtenir une autre valeur = 24/52 = 6/13

c) En utilisant les probabilités et les valeurs associées, nous pouvons calculer l'espérance \(E(Z)\) et l'écart-type \(σ(Z)\) de la variable aléatoire Z. Pour cela, nous multiplions chaque valeur possible de Z par sa probabilité respective, puis additionnons les résultats pour obtenir l'espérance, et calculons l'écart-type à partir de l'espérance et des probabilités.

2)

a) Pour exprimer S en fonction des variables Zk, nous devons simplement additionner les points obtenus à chaque tirage :

\[S = Z_1 + Z_2 + Z_3 + Z_4 + Z_5\]

b) Pour calculer \(E(S)\), nous calculons d'abord \(E(Z_k)\) pour un seul tirage, puis nous multiplions par 5 car nous jouons 5 fois. Ensuite, nous calculons \(σ(S)\) à partir des \(σ(Z_k)\) et de la formule des écart-types pour la somme de variables aléatoires indépendantes.

c) La variable aléatoire M correspond à la moyenne des points obtenus sur les 5 tirages. Pour calculer \(σ(M)\), nous utilisons la formule de l'écart-type de la moyenne, en tenant compte du fait que les \(Z_k\) sont indépendants.

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