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Exercice 3: On appelle f, la valeur de la quantité de sucre contenue dans 100 kg de betteraves.
Un exploitant agricole ne sera pas pénalisé si la quantité de sucre contenue dans 100 kg de betteraves est supérieure à 16kg

On considère la quantité de sucre donné par la relation suivante: f(x)=-0,004x²+x-40, où x représente la masse en kg d'engrais azoté répandu sur un hectare, xE[70; 170].

1. Calculer la quantité de sucre pour une masse de 130 kg.
2. Dresser le tableau de variation de f sur [70;170].

3. Déterminer la masse d'engrais azaté répandu pour que la quantité de sucre soit maximale.

4. Déterminer par la méthode de votre choix, l'encadrement de la masse x d'engrais azoté répondu pour que l'exploitant agricole ne soit pas pénalisé.​


Sagot :

Réponse:

1. **Calculer la quantité de sucre pour une masse de 130 kg :**

\[ f(130) = -0,004 \times (130)^2 + 130 - 40 \]

Calculons cela pour obtenir la valeur de \( f(130) \).

2. **Tableau de variation de f sur [70;170] :**

- Trouver les valeurs critiques de \( f(x) \) en résolvant \( f'(x) = 0 \) où \( f'(x) \) est la dérivée de \( f(x) \).

- Utiliser ces valeurs critiques et les extrémités de l'intervalle pour déterminer les variations de \( f(x) \) sur [70;170].

3. **Déterminer la masse d'engrais azoté pour une quantité maximale de sucre :**

- Trouver la valeur de \( x \) pour laquelle \( f'(x) = 0 \) et \( f''(x) < 0 \), indiquant un maximum.

4. **Encadrement de la masse d'engrais pour éviter la pénalité :**

- Utiliser l'inégalité \( f(x) > 16 \) pour déterminer l'intervalle de \( x \) où l'exploitant ne sera pas pénalisé.

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