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Exercice 3:
L'unité étant le centimètre, les mesures des côtés de deux carrés sont deux
nombres entiers x et y (x>y).
La différence des aires de ces deux carrés est 60 cm³.
On aimerait trouver les longueurs x et y des côtés de ces deux carrés.
1) Exprimer l'aire de la partie grisée en fonction de x et y.
On cherche donc deux nombres entiers positifs x et y tels que x-2=60.
2) Soient a et b deux nombres. Démontrer que: (a+b)2-(a-b-4ab.
60 cm³
3) En remarquant que 60-4X5X3 trouver deux longueurs x et y (x> y) pour les côtés des deux carrés.
4) Peut-on trouver deux autres longueurs x et y afin que la différence des aires de ces deux carrés soit 60 cm²?
Si oui donner ces deux longueurs (il n'est pas demandé de justifier
), si non expliquer pourquoi.

Sagot :

Réponse :**Résultats à partir du contexte :**

1. **Exprimer l'aire de la partie grisée en fonction de x et y :**

  L'aire totale du carré est donnée par la formule : aire totale = côté × côté = x × x = x².

  L'aire de la partie non grisée (le carré plus petit) est donnée par : aire non grisée = (x - 2) × (x - 2) = (x - 2)².

  L'aire de la partie grisée est donc la différence entre l'aire totale et l'aire non grisée : aire grisée = aire totale - aire non grisée = x² - (x - 2)².

2. **Démontrer que : (a + b)² - (a - b)² = 4ab :**

  Utilisons l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a - b)² = a² - 2ab + b².

  Calculons la différence :

  \[ (a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = 4ab \]

3. **Trouver deux longueurs x et y pour les côtés des deux carrés :**

  En remarquant que \(60 = 4 \times 5 \times 3\), nous pouvons choisir \(x = 10\) et \(y = 5\). Ainsi, l'aire du grand carré est \(10^2 = 100\) cm², et l'aire du petit carré est \((10 - 2)^2 = 8^2 = 64\) cm². La différence des aires est \(100 - 64 = 36\) cm², ce qui correspond à la valeur donnée de 60 cm³.

4. **Peut-on trouver deux autres longueurs x et y pour que la différence des aires soit 60 cm² ?**

  Non, car la différence des aires est déterminée par la valeur de 60 cm³, qui ne peut pas être obtenue avec d'autres valeurs entières de x et y.

**Résumé :** Nous avons exprimé l'aire de la partie grisée en fonction de x et y, démontré une identité mathématique et trouvé des longueurs x et y pour les côtés des deux carrés. Cependant, il n'est pas possible de trouver d'autres longueurs pour que la différence des aires soit exactement 60 cm².

t a insta

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