Pour trouver la limite lorsque \( x \) tend vers l'infini de la fonction \( f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x} \), nous pouvons utiliser les propriétés des limites.
Comme \( x^2 \) devient beaucoup plus grand que 1 lorsque \( x \) tend vers l'infini, nous pouvons approximer \( \ln(x^2+1) \) à \( \ln(x^2) \), car l'addition de 1 devient négligeable par rapport à \( x^2 \). Ainsi, nous avons:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2)}{x} \]
En utilisant les propriétés des logarithmes, nous pouvons réécrire \( \ln(x^2) \) comme \( 2\ln(x) \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2\ln(x)}{x} \]
Maintenant, nous avons une forme indéterminée de type \( \frac{\infty}{\infty} \). Pour résoudre cela, nous pouvons utiliser la règle de L'Hôpital, qui stipule que si nous avons une forme indéterminée \( \frac{f(x)}{g(x)} \) où \( f(x) \) et \( g(x) \) tendent toutes deux vers l'infini (ou moins l'infini) ou toutes deux vers zéro, alors la limite de \( \frac{f(x)}{g(x)} \) est la même que la limite de \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \), où \( f'(x) \) et \( g'(x) \) sont les dérivées de \( f(x) \) et \( g(x) \) respectivement.
Appliquons cette règle ici:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2(\frac{1}{x})}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0 \]
Donc, la limite lorsque \( x \) tend vers l'infini de la fonction \( f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x} \) est 0.
