.
1. **Déterminer la fonction affine :**
Pour déterminer la fonction affine, nous avons besoin de deux points sur la droite. Nous avons déjà deux points :
- Lorsque le prix est de 12 €, 500 billets sont vendus.
- Lorsque le prix est de 10 €, 700 billets sont vendus.
Nous pouvons utiliser la formule de la pente pour trouver la valeur de la fonction, puis utiliser l'une des paires de points pour calculer la constante. La formule de la pente est :
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
En utilisant les points (12, 500) et (10, 700), nous avons :
\[m = \frac{{700 - 500}}{{10 - 12}} = \frac{{200}}{{-2}} = -100\]
Maintenant, nous utilisons l'une des paires de points pour calculer la constante \(b\) dans \(y = mx + b\). Prenons le point (12, 500) :
\[500 = -100 \times 12 + b\]
\[500 = -1200 + b\]
\[b = 500 + 1200\]
\[b = 1700\]
Donc, la fonction affine est \(f(x) = -100x + 1700\).
2. **Pour remplir la salle :**
Nous voulons trouver le prix pour lequel la salle est remplie, c'est-à-dire le prix qui correspond à 1000 billets vendus. Nous utilisons la fonction affine pour cela :
\[f(x) = -100x + 1700\]
\[1000 = -100x + 1700\]
\[-100x = 1000 - 1700\]
\[-100x = -700\]
\[x = \frac{{-700}}{{-100}}\]
\[x = 7\]
Donc, les billets doivent être vendus à 7 € pour remplir la salle.
3. **Pour maximiser la recette :**
La recette est simplement le prix du billet multiplié par le nombre de billets vendus. Pour maximiser la recette, nous devons trouver le prix qui maximise cette fonction. Cela se produit au sommet de la courbe, qui est le point où la dérivée est égale à zéro. La fonction affine est une droite, donc elle est constante et la dérivée est toujours la même (-100). Donc, la recette maximale est obtenue lorsque tous les billets sont vendus au prix le plus élevé possible, c'est-à-dire 12 € dans ce cas.
