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Exercice 3: On considère le rectangle ABCD de longueur 10 et de largeur 6. E est le milieu du côté [AB] et F le milieu du côté [BC].
Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants :
1) DA.DB
2) DC.DF
3) DA.DC
4) DE.DF
5) DF.DB ​

Exercice 3 On Considère Le Rectangle ABCD De Longueur 10 Et De Largeur 6 E Est Le Milieu Du Côté AB Et F Le Milieu Du Côté BC Déterminer Les Valeurs Exactes Des class=

Sagot :

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser les coordonnées des points.

Les coordonnées des points sont :
- A(0, 0)
- B(10, 0)
- C(10, 6)
- D(0, 6)
- E(est le milieu de [AB])
- F(est le milieu de [BC])

Les coordonnées de E et F se trouvent en prenant les moyennes des coordonnées des points qui délimitent les côtés où ils se trouvent :

- E : \(\left(\frac{0 + 10}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (5, 0)\)
- F : \(\left(\frac{10 + 10}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (10, 3)\)

Maintenant, nous pouvons calculer les produits scalaires demandés :

1) \(DA \cdot DB\)

Le vecteur \(\vec{DA}\) est donné par les coordonnées de D et A : \(\vec{DA} = (0-0, 6-0) = (0, 6)\)
Le vecteur \(\vec{DB}\) est donné par les coordonnées de D et B : \(\vec{DB} = (10-0, 0-6) = (10, -6)\)

Le produit scalaire \(DA \cdot DB\) est alors :

\[DA \cdot DB = (0, 6) \cdot (10, -6) = 0 \cdot 10 + 6 \cdot (-6) = -36\]

2) \(DC \cdot DF\)

Le vecteur \(\vec{DC}\) est donné par les coordonnées de D et C : \(\vec{DC} = (10-0, 6-6) = (10, 0)\)
Le vecteur \(\vec{DF}\) est donné par les coordonnées de D et F : \(\vec{DF} = (10-5, 3-6) = (5, -3)\)

Le produit scalaire \(DC \cdot DF\) est alors :

\[DC \cdot DF = (10, 0) \cdot (5, -3) = 10 \cdot 5 + 0 \cdot (-3) = 50\]

3) \(DA \cdot DC\)

Le produit scalaire \(DA \cdot DC\) est le produit de deux vecteurs orthogonaux, donc il est nul :

\[DA \cdot DC = (0, 6) \cdot (10, 0) = 0 \cdot 10 + 6 \cdot 0 = 0\]

4) \(DE \cdot DF\)

Le vecteur \(\vec{DE}\) est donné par les coordonnées de D et E : \(\vec{DE} = (5-0, 0-6) = (5, -6)\)
Le vecteur \(\vec{DF}\) est donné par les coordonnées de D et F : \(\vec{DF} = (10-5, 3-6) = (5, -3)\)

Le produit scalaire \(DE \cdot DF\) est alors :

\[DE \cdot DF = (5, -6) \cdot (5, -3) = 5 \cdot 5 + (-6) \cdot (-3) = 25 + 18 = 43\]

5) \(DF \cdot DB\)

Le vecteur \(\vec{DF}\) est donné par les coordonnées de D et F : \(\vec{DF} = (10-5, 3-6) = (5, -3)\)
Le vecteur \(\vec{DB}\) est donné par les coordonnées de D et B : \(\vec{DB} = (10-0, 0-6) = (10, -6)\)

Le produit scalaire \(DF \cdot DB\) est alors :

\[DF \cdot DB = (5, -3) \cdot (10, -6) = 5 \cdot 10 + (-3) \cdot (-6) = 50 + 18 = 68\]

Donc, les valeurs exactes des produits scalaires demandés sont :
1) \(DA \cdot DB = -36\)
2) \(DC \cdot DF = 50\)
3) \(DA \cdot DC = 0\)
4) \(DE \cdot DF = 43\)
5) \(DF \cdot DB = 68\)
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