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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape :
Il semble qu'il y ait une erreur dans la définition des fonctions
�
(
�
)
f(x) et
�
(
�
)
g(x). Il semble qu'il manque des termes. Je vais supposer que la fonction
�
(
�
)
f(x) est
�
(
�
)
=
�
2
−
2
�
+
1
f(x)=x
2
−2x+1 et que la fonction
�
(
�
)
g(x) est correcte.
a. Pour trouver les points d'intersection des courbes
�
�
C
f
et
�
�
C
g
, nous devons résoudre l'équation
�
(
�
)
=
�
(
�
)
f(x)=g(x).
�
2
−
2
�
+
1
=
4
�
2
−
2
�
+
1
x
2
−2x+1=4x
2
−2x+1
En simplifiant cette équation, nous avons :
3
�
2
=
0
3x
2
=0
Ce qui donne
�
=
0
x=0.
Donc, les coordonnées des points d'intersection sont
�
=
0
x=0.
b. Puisque les fonctions
�
(
�
)
f(x) et
�
(
�
)
g(x) sont des polynômes, elles sont continues et définies sur
�
R. La courbe
�
�
C
f
est une parabole orientée vers le haut et la courbe
�
�
C
g
est une parabole orientée vers le haut aussi mais avec un coefficient plus grand pour le terme quadratique.
Puisque les fonctions sont des polynômes de degré pair et que leurs coefficients dominants sont positifs, les deux courbes tendent vers l'infini dans les mêmes directions à l'infini. Par conséquent, les courbes
�
�
C
f
et
�
�
C
g
se croisent en un seul point (conjecturé
�
=
0
x=0) et ne se croisent pas ailleurs.
Pour démontrer cette conjecture, nous devons montrer que
�
(
�
)
=
�
(
�
)
f(x)=g(x) a exactement une solution.
En résolvant
�
(
�
)
=
�
(
�
)
f(x)=g(x), nous avons :
�
2
−
2
�
+
1
=
4
�
2
−
2
�
+
1
x
2
−2x+1=4x
2
−2x+1
3
�
2
=
0
3x
2
=0
�
=
0
x=0
Comme
3
�
2
3x
2
ne peut être nul que lorsque
�
=
0
x=0, il n'y a qu'une seule solution.
Donc, la conjecture selon laquelle les courbes
�
�
C
f
et
�
�
C
g
se croisent en un seul point (0, f(0)) est démontrée. Et comme les fonctions sont continues et polynomiales, elles ne peuvent pas se croiser ailleurs. Ainsi, les courbes se croisent en ce seul point et sont disjointes ailleurs, ce qui confirme la position relative conjecturée.
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