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ABCD est un carré de côté 5 cm. M est un point du segment [CD] et N un point du segment [CB] tels que CM = CN= x. CMLN est un carré de côté x. On souhaite étudier l'aire de la partie grisée lorsque x varie. 1. Dans quel intervalle x varie-t-il ? 2. a. Exprimer les aires des triangles ABN et ADM en fonction de x, puis celle du carré CMLN en fonction de x. b. Soit f la fonction qui, à toute valeur de x dans [0; 5], associe l'aire f(x) de la partie grisée AMLN. Montrer que f(x) = x²+5x. 3. Répondre aux questions suivantes en justifiant à l'aide de la partie A : a. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'aire de la partie grisée est inférieure ou égale à 4 cm². M b. Déterminer un encadrement d'amplitude 0,1 des valeurs de x pour lesquelles l'aire de la partie grisée e égale au dixième de l'aire du carré ABCD.​

Sagot :

Nols3112

1. x varie dans l'intervalle [0; 5].

2.

a.

- L'aire du triangle ABN est (1/2) * AB * BN = (1/2) * 5 * x = 2.5x cm²

- L'aire du triangle ADM est (1/2) * AD * DM = (1/2) * 5 * (5 - x) = 2.5(5 - x) = 12.5 - 2.5x cm²

- L'aire du carré CMLN est x² cm²

b.

On a que l'aire de la partie grisée AMLN est f(x) = Aire(ABCD) - Aire(ABN) - Aire(ADM) - Aire(CMLN)

= 5² - 2.5x - (12.5 - 2.5x) - x²

= 25 - 2.5x - 12.5 + 2.5x - x²

= 25 - 12.5 - x²

= 12.5 - x²

= x² + 5x

3.

a. Pour que l'aire de la partie grisée soit inférieure ou égale à 4 cm², on a :

x² + 5x ≤ 4

x² + 5x - 4 ≤ 0

(x + 4)(x - 1) ≤ 0

Donc x ∈ [0; 1]

b. L'aire du carré ABCD est 5² = 25 cm². Pour que l'aire de la partie grisée soit égale à 1/10 de l'aire du carré ABCD, on a :

x² + 5x = 25/10

x² + 5x = 2.5

x² + 5x - 2.5 = 0

On utilise alors les formules algébriques pour obtenir une valeur approchée de x qui donne l'aire 2.5 cm² pour la partie grisée.

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