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Sagot :
Réponse:
Le triangle \( AIC \) est un triangle isocèle.
Explications étape par étape:
Pour construire la figure, nous allons d'abord représenter le triangle ABC où \( \angle ABC = 25^\circ \) et \( \angle ACB = 65^\circ \). Ensuite, nous plaçons le point \( I \) comme le milieu de \( BC \).
Pour calculer la longueur \( AI \), nous utiliserons la propriété des triangles isocèles qui dit que dans un triangle isocèle, les côtés opposés aux angles égaux sont de même longueur. Puisque \( I \) est le milieu de \( BC \), nous avons \( BI = IC \).
Maintenant, nous avons un triangle isocèle \( AIC \), avec \( AI = IC \) et \( \angle AIC = \angle ACB = 65^\circ \). Puisque la somme des angles d'un triangle est toujours égale à \( 180^\circ \), nous pouvons calculer l'angle \( \angle AIC \).
\[ \angle AIC = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \]
Maintenant, nous pouvons utiliser la loi des cosinus pour trouver la longueur \( AI \) :
\[ \cos(\angle AIC) = \frac{AI^2 + IC^2 - AC^2}{2 \cdot AI \cdot IC} \]
\[ \cos(115^\circ) = \frac{AI^2 + (BI)^2 - AC^2}{2 \cdot AI \cdot IC} \]
Puisque \( BI = IC \) et \( AC = 8 \) cm, nous avons :
\[ \cos(115^\circ) = \frac{AI^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 - 8^2}{2 \cdot AI \cdot \frac{BC}{2}} \]
\[ \cos(115^\circ) = \frac{AI^2 + 4^2 - 8^2}{2 \cdot AI \cdot 4} \]
\[ \cos(115^\circ) = \frac{AI^2 + 16 - 64}{8 \cdot AI} \]
\[ \cos(115^\circ) = \frac{AI^2 - 48}{8 \cdot AI} \]
\[ AI \cdot \cos(115^\circ) = AI \cdot \frac{AI^2 - 48}{8 \cdot AI} \]
\[ AI \cdot \cos(115^\circ) = \frac{AI^2 - 48}{8} \]
\[ AI^2 \cdot \cos(115^\circ) = AI^2 - 48 \]
\[ AI^2 \cdot \cos(115^\circ) - AI^2 = -48 \]
\[ AI^2 (\cos(115^\circ) - 1) = -48 \]
\[ AI^2 = \frac{-48}{\cos(115^\circ) - 1} \]
\[ AI = \sqrt{\frac{-48}{\cos(115^\circ) - 1}} \]
\[ AI \approx \sqrt{\frac{-48}{\cos(115^\circ) - 1}} \]
\[ AI \approx \sqrt{\frac{-48}{-0.42261826174 - 1}} \]
\[ AI \approx \sqrt{\frac{-48}{-1.42261826174}} \]
\[ AI \approx \sqrt{33.7142857143} \]
\[ AI \approx 5.810\, \text{cm} \]
Donc, la longueur \( AI \) est d'environ \( 5,810 \) cm. Le triangle \( AIC \) est un triangle isocèle puisque \( AI = IC \) et \( \angle AIC = 65^\circ \).
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