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Sagot :
Réponse :Bien sûr ! Analysons chaque question en détail :
Exprimer les coordonnées des vecteurs AM et MD en fonction de x et y:
Le vecteur (\vec{AM}) est défini comme la différence entre les coordonnées du point (M) et celles du point (A): [ \vec{AM} = (x - (-3), y - 3) = (x + 3, y - 3) ]
Le vecteur (\vec{MD}) est défini comme la différence entre les coordonnées du point (D) et celles du point (M): [ \vec{MD} = (1 - x, 1 - y) ]
Trouver les coordonnées du point M tel que AM = MD:
Égalons les vecteurs (\vec{AM}) et (\vec{MD}): [ (x + 3, y - 3) = (1 - x, 1 - y) ]
Résolvons le système d’équations: [ \begin{align*} x + 3 &= 1 - x \ y - 3 &= 1 - y \end{align*} ]
Pour la première équation, ajoutons (x) des deux côtés: [ 2x + 3 = 1 ] [ 2x = -2 ] [ x = -1 ]
Pour la deuxième équation, ajoutons (y) des deux côtés: [ 2y - 3 = 1 ] [ 2y = 4 ] [ y = 2 ]
Donc, les coordonnées du point (M) sont ((-1, 2)).
Calculer les coordonnées du vecteur DB +1/2-AD:
Le vecteur (\vec{DB}) est défini comme la différence entre les coordonnées du point (B) et celles du point (D): [ \vec{DB} = (1 - 1, 5 - 1) = (0, 4) ]
Le vecteur (\vec{AD}) est défini comme la différence entre les coordonnées du point (D) et celles du point (A): [ \vec{AD} = (1 - (-3), 1 - 3) = (4, -2) ]
Calculons le vecteur résultant: [ \vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{AD} = (0, 4) + \frac{1}{2}(4, -2) = (0, 4) + (2, -1) = (2, 3) ]
Trouver les coordonnées du point P tel que DP = DB + 1/2AD:
Égalons les vecteurs (\vec{DP}), (\vec{DB}), et (\frac{1}{2}\vec{AD}): [ \vec{DP} = \vec{DB} + \frac{1}{2}\vec{AD} ] [ (x’ - 1, y’ - 1) = (2, 3) ]
Résolvons le système d’équations: [ x’ - 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad x’ = 3 ] [ y’ - 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad y’ = 4 ]
Donc, les coordonnées du point (P) sont ((3, 4)).
Démontrer que le quadrilatère AMPB est un parallélogramme:
Pour montrer que le quadrilatère (AMPB) est un parallélogramme, nous devons prouver que les vecteurs (\vec{AM}) et (\vec{PB}) sont égaux: [ \vec{AM} = \vec{PB} ] [ (x + 3, y - 3) = (x’ - 1, y’ - 5) ]
Égalons les composantes correspondantes: [ x + 3 = x’ - 1 \quad \Rightarrow \quad x’ = x + 4 ] [ y - 3 = y’ - 5
Explications étape par étape :
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