Bonjour est ce que pourriez me corriger cette exercice s'il vous plaît :)
Voila l'énoncé :On considère la suite (Un) définie sur N* par Un=1/n(n+1)

1) Etudier les variations de la suite (Un).
2)Déterminer un entier k tel que, si n supérieur ou égal à k, alors Un < 10-4. Quelle est la limite de la suite (Un)?
p
3)On s'intéresse, dans cette question, à la somme Sp= sigma Uk où p appartientN*
k=1
a) Vérifier que, pour tout entier non nul n, Un = 1/n - 1/n+1
b) En déduire que pour tout p supérieur ou égal à 1, Sp= 1- 1/p+1
c)Donnez la valeur exacte de S= 1/2 + 1/(2x3) + 1/(3x4) +...+ 1/(999x1000)

Voilà ce que j'ai fait:

1)Un+1 - Un = 1/(n+1)(n+1+1) - 1/n(n+1)
=1/(n+1)(n+2) - 1/n(n+1)
= 1/n²+2n+n+2 - 1/n²+n
= 1(n²+n) - 1(n²+2n+n+2) / (n²+2n+n+2)(n²+1)
= n²+n - (n²+2n+n+2) / (n^4+n^3+2n^3+2n²+n^3+n²+2n²+2n)
= -2n-2/ (n^4+4n^3+5n²+2n)
-2n-2<0 et n^4+4n^3+5n²+2n>0
Un+1-Un<0 donc la suite (Un) est strictement décroissante

2) Déterminer un entier k tel que, si n supérieur à k, alors Un<10^-4

-Pour que Un<10^-4 il faut que n(n+1)>10^4
n(n+1)-10^4>0
n²+n-10^4>0
Delta= 1² -4x1x(-10^4)
= 40001
x1= -1+racine(40001)/2=99.5
x2= -1-racine(40001)/2=-100.5
Cependant, on veut que n²+n-104>0 donc S={99.5}.

- lim Un= lim 1/n(n+1)=0
n->0 n->0
3)a)Pour tout entier n, Un = 1/n - 1/n+1
donc 1/n - 1/n+1= 1(n+1)-n/n(n+1)
= n+1-n/n(n+1)
= 1/n(n+1)
Donc Un= 1/n - 1/n+1
p p
b) SP= sigma Un= sigma 1/n - 1/n+1
n=1 n=1

c) (nombre de termes)(1er terme + dernier terme)/2
999x(1/2+1/999x1000)/2=249.7505
La valeur exacte de S 1/2 +1/2x3 + 1/3x4 +.....+1/999x1000 est 249.7505

Merci de votre aide pour me corriger cette exercice :)