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Bonjour est ce que vous pourriez me corriger cette exercice s'il vous plaît :)
On considère une feuille de papier de dimensions 21 cm et 29.7cm.
On plie cette feuille, selon le segment [MP], en plaçant le point C sur le segment [AD]. On appelle N le point de [AD] sur lequel va se placer le point C et on s'intéresse à la longueur du pli MP. Voir figure ci-dessous.

1.On appelle x la distance CM et y la distance CP.
a) Justifier que x appartient à ]10.5; 21]
b) Exprimer la distance DN en fonction de x.
c) Exprimer les aires des triangles MDN, MNP, et PMC en fonction de x.
d) En exprimant de deux façon différentes l'aire du trapèze CDNP, montrer que y=x racine( 21/(2x-21)
e) En déduire la longueur MP en fonction de x.

2)a) Etudier les variations de la fonction f définie sur ]10.5;21] par f(x)= 2x^3/2x-21
b) En déduire la valeur de x pour laquelle la longueur MP est minimale

Voila ce que j'ai fait:
1) a) D'après l'énoncé MN = MC et le point N doit appartenir au segment [AD], donc la longueur x doit être supérieure à la moitié de CD soit > 10.5cm et inférieure à 21cm.
b)NM²=DN²+DM²
DN²= x²-(21-x)²
DN²=21(2x-21)
DN= racine(21(2x-21) (Toute l'expression est sous la racine.)

c) Aire MDN= [ 21(racine de) 21(2x-21) -x (racine de ) 21(2x-21) ]/2
Aire MNP= (xy)/2
Aire PMC: (xy)/2

d) DN= racine(21(2x-21)
Aire MDN = DN x MD/2 =(21-x) racine(21(2x-21)/2
Aire MNP = Aire PMC = xy/2

Aire CDNP = Aire MDN + Aire MNP + Aire PMC
Aire CDNP = DN xMD/2 =(21-x)racine(21(2x-21)/2 + 2 xy/2= (21-x)racine(21(2x-21)/2 + xy

Il y aussi
Aire CDNP = (CP + DN)xCD/2 = [ y + racine(21(2x-21) ] 21/2

On peut donc ecrire
(21-x) racine(21(2x-21)/2 + xy= [ y + racine(21(2x-21) ] 21/2
soit
(21-x) racine(21(2x-21)/2 + xy= 21y/2 + 21 racine(21(2x-21)/2
xy - 21y/2= 21 racine(21(2x-21)/2 - (21-x)racine(21(2x-21)/2
(x-21/2)y = xracine(21(2x-21)/2
-2x-21/2)y= xracine(21(2x-21)/2

mais aprés je bloque et j'ai l'impression que c'est pas ca

e)MP²=MC²+CP²
MP²=x²+y²
MP²=x²+ (x X racine( 21/(2x-21))² (Toute l'expression est sous la racine.) ( toute l'expression est sous la racine )

Pour les questions 2)a et b) je n'y arrive pas

Merci de votre aide :)

Sagot :

1)a) x =CM=MN
Pour que le problème ait un sens , il faut que x < 21 puisque 21 correspond à la largeur complète de la feuille
En pliant la feuille on se retrouve avec un point N sur (AD) qui forme un triangle rectangle NDM et NM en est l'hypoténuse
donc l'hypoténuse NM est forcément plus grande que MD
Donc NM supérieur à (21-x)    car MD=21-x
donc x supérieur à 21-x      car NM=x
donc 2x supérieur à 21
donc x supérieur à 21/2 donc à 10,5
donc x appartient à (10,5;21)

1)b) NDM rectangle en D avec DM=21-x  et NM=x
donc Pythagore : x^2=(21-x)^2+DN^2          ^2 veut dire "puissance 2"
DN^2=x^2-(21-x)^2 = x^2-441-x^2+42x=42x-441
donc DN = V (42x-441)        V veut dire "racine carrée"
Donc DN =V21(2x-21)

1)c)Aire de MDN =MD.DN/2=(21-x).V21(2x-21)/2 
Aire de PMC=MC.PC/2=xy/2
Aire de MNP=MN.NP/2 =xy/2 

L'aire du trapèze peut s'écrire de deux manières
Formule générale : aire de CDNP=DC.(PC+DN)/2
=(21/2).(y+V21(2x-21)

Soit aire CDNP=Aire MDN+Aire MNP+Aire PMC
=(21-x).V21(2x-21)/2 +xy/2+xy/2
=(21-x).V21(2x-21)/2 + xy

On procède à l'égalité des deux expressions en multipliant par 2 les deux expressions pour ne plus avoir de quotient , c'est + pratique:
(21-x)V21(2x-21)+2xy=21(y+V21(2x-21)
21V21(2x-21)-xV21(2x-21)+2xy=21y+21V21(2x-21)
2xy-21y=V21(2x-21)(21-21+x)
y(2x-21)=x.V21(2x-21)
y=xV21(2x-21)/(2x-21)
y=xV21(2x-21)/(V(2x-21)^2    car racine de (2x-21) au carré=(2x-21)
Donc y=x. racine de(21/(2x-21))

MP^2=MC^2+PC^2
=x^2+y^2
donc MP=V(x^2+y^2)
=V(x^2+x^2(21/2x-21)
=V(x^2(1+21/2x-21)
=x.V2x/2x-21

2. f '(x)=(6x^2)(2x-21)-2(2x^3)/(2x-21)^2
=8x^3-126x^2
=x^2(8x-126)
f atteint son minimum quand f'(x)=0
soit pour x =0 IMPOSSIBLE car 10,5 < x  < 21
ou pour 8x-126=0
x=126/8=15,75      10,5 < 15,75 < 21

On remplace x par cette valeur dans l'expression de MP et on trouve
pour x=15,75 MP=15,75.V3=27,28 environ





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