1. Pour construire le triangle ABC, on utilise un rapporteur, une règle et un compas. Voici les étapes :
a. Dessiner le segment AB de longueur 10,5 cm.
b. À partir du point A, tracer un arc de cercle de rayon 12 cm pour représenter la longueur AC.
c. À partir du point B, tracer un arc de cercle de rayon 4,5 cm pour représenter la longueur BC.
d. Les points d'intersection des arcs de cercle déterminent le point C.
e. Tracer les segments AC et BC pour former le triangle ABC.
f. Placer le point R sur le segment AC à une distance de 8 cm du point A.
g. Placer le point P sur le segment AB à une distance de 7 cm du point A.
2. Pour démontrer que les droites (BC) et (PR) sont parallèles, on peut utiliser le théorème de Thalès.
En effet, les droites (BC) et (PR) sont parallèles si et seulement si les rapports des longueurs des segments correspondants sont égaux. Donc, si PR // BC, alors (AR / AC) = (AP / AB).
Or, on a AR = 8 cm, AC = 12 cm, AP = 7 cm, et AB = 10,5 cm. En substituant ces valeurs dans la formule, on obtient :
(8 / 12) = (7 / 10,5)
Ce qui donne : 2/3 = 2/3
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, les droites (BC) et (PR) sont parallèles.
3. Pour démontrer que la longueur PR est 3 cm, on peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ARP.
En effet, le triangle ARP est rectangle en P. Donc, on peut utiliser la relation de Pythagore :
AR² = AP² + PR²
En substituant AR = 8 cm et AP = 7 cm, on obtient :
8² = 7² + PR²
64 = 49 + PR²
PR² = 64 - 49
PR² = 15
Donc, PR = √15 ≈ 3,87 cm
Ainsi, la longueur PR est d'environ 3 cm.
