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Réponse:
[tex]Pour résoudre l'équation ( A(x) = 0 ), nous devons trouver les valeurs de ( x ) dans l'intervalle ( ]-\pi, \pi] ) pour lesquelles ( A(x) ) est nul.( A(x) = (1+ \sqrt{2} \cos x)(1-\sqrt{2} \cos x) )Pour que ( A(x) ) soit nul, l'une des expressions dans les parenthèses doit être nulle, car le produit de deux nombres est nul si l'un des nombres est nul. Ainsi, nous avons :( 1+ \sqrt{2} \cos x = 0 )( 1- \sqrt{2} \cos x = 0 )En résolvant chacune de ces équations pour ( x ) dans l'intervalle ( ]-\pi, \pi] ), nous obtenons :[/tex]
[tex]En résolvant chacune de ces équations pour ( x ) dans l'intervalle ( ]-\pi, \pi] ), nous obtenons :( \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} ) : cela se produit lorsque ( x = \frac{5\pi}{4} ) dans l'intervalle donné.( \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} ) : cela se produit lorsque ( x = \frac{\pi}{4} ) dans l'intervalle donné.Donc, les solutions de ( A(x) = 0 ) dans l'intervalle ( ]-\pi, \pi] ) sont ( x = \frac{\pi}{4} ) et ( x = \frac{5\pi}{4} ).[/tex]
[tex]Maintenant, pour résoudre ( A(x) < 0 ), nous devons déterminer les intervalles où ( A(x) ) est négatif. ( A(x) ) sera négatif lorsque les deux expressions ( (1+ \sqrt{2} \cos x) ) et ( (1-\sqrt{2} \cos x) ) ont des signes opposés.Étant donné que ( (1+ \sqrt{2} \cos x) ) est toujours positif et que ( (1-\sqrt{2} \cos x) ) est positif pour ( x = \frac{\pi}{4} ) et négatif pour ( x = \frac{5\pi}{4} ), alors ( A(x) ) sera négatif lorsque ( x ) est dans l'intervalle ( ]\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] ) dans l'intervalle ( ]-\pi, \pi] ).[/tex]