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Exercice 2:
Soit la fonction f définie sur R par : f(x)=2x^4-4x^3 + 2x²-1
1) Déterminer la fonction dérivée f'.

2) Monter que l'on peut écrire f' tel que f'(x) = 4x(2x-1)(x-1)

3) Etudier le signe de f'.

4) En déduire les variations de f en dressant un tableau de variation.

5) Calculer les valeurs des extremums pour compléter le tableau de variation. (Vous détaillerez les calculs)

6) D'après le tableau de variation, combien de solutions possède l'équation f(x) = 0? Justifier.

7) Déterminer, à l'aide de votre calculatrice, une valeur approchée à 10^-3 de ces solutions.

Sagot :

ByLafe

1) La fonction dérivée f' est obtenue en dérivant chaque terme de f(x) selon les règles de dérivation usuelles :
f'(x) = 2 * 4x^3 - 4 * 3x^2 + 2 * 2x - 0
f'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x

2) On peut effectivement factoriser f'(x) sous la forme demandée :
f'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x
= 4x(2x^2 - 3x + 1)
= 4x(2x - 1)(x - 1)

3) Pour étudier le signe de f', on étudie le signe de chaque facteur :
- 4x est positif sur ]0;+∞[ et négatif sur ]-∞;0[
- (2x-1) est positif sur ]1/2;+∞[ et négatif sur ]-∞;1/2[
- (x-1) est positif sur ]1;+∞[ et négatif sur ]-∞;1[
Donc f' est positif sur ]-∞;0[ ∪ ]1/2;1[ ∪ ]1;+∞[ et négatif sur ]0;1/2[ ∪ ]1/2;1[.

4) Tableau de variation de f :
x | -∞ 0 1/2 1 +∞
f'(x) | + - + - +
f(x) | ↗ ↘ ↗ ↘ ↗
|

5) Valeurs des extremums :
En x=0 : f(0) = -1
En x=1/2 : f(1/2) = 2(1/2)^4 - 4(1/2)^3 + 2(1/2)^2 - 1
= 1/8 - 1/2 + 1/2 - 1
= -7/8
En x=1 : f(1) = 2*1^4 - 4*1^3 + 2*1^2 - 1
= 2 - 4 + 2 - 1
= -1

6) D'après le tableau, f s'annule 3 fois : 2 fois quand elle change de variations (en x=0 et x=1) et 1 fois entre x=1/2 et x=1 car f(1/2)<0 et f(1)<0.

7) Avec une calculatrice, on trouve les solutions approchées suivantes à 10^-3 près :
x1 ≈ -0,544 ; x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 ≈ 1,544
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