1) La fonction dérivée f' est obtenue en dérivant chaque terme de f(x) selon les règles de dérivation usuelles :
f'(x) = 2 * 4x^3 - 4 * 3x^2 + 2 * 2x - 0
f'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x
2) On peut effectivement factoriser f'(x) sous la forme demandée :
f'(x) = 8x^3 - 12x^2 + 4x
= 4x(2x^2 - 3x + 1)
= 4x(2x - 1)(x - 1)
3) Pour étudier le signe de f', on étudie le signe de chaque facteur :
- 4x est positif sur ]0;+∞[ et négatif sur ]-∞;0[
- (2x-1) est positif sur ]1/2;+∞[ et négatif sur ]-∞;1/2[
- (x-1) est positif sur ]1;+∞[ et négatif sur ]-∞;1[
Donc f' est positif sur ]-∞;0[ ∪ ]1/2;1[ ∪ ]1;+∞[ et négatif sur ]0;1/2[ ∪ ]1/2;1[.
4) Tableau de variation de f :
x | -∞ 0 1/2 1 +∞
f'(x) | + - + - +
f(x) | ↗ ↘ ↗ ↘ ↗
|
5) Valeurs des extremums :
En x=0 : f(0) = -1
En x=1/2 : f(1/2) = 2(1/2)^4 - 4(1/2)^3 + 2(1/2)^2 - 1
= 1/8 - 1/2 + 1/2 - 1
= -7/8
En x=1 : f(1) = 2*1^4 - 4*1^3 + 2*1^2 - 1
= 2 - 4 + 2 - 1
= -1
6) D'après le tableau, f s'annule 3 fois : 2 fois quand elle change de variations (en x=0 et x=1) et 1 fois entre x=1/2 et x=1 car f(1/2)<0 et f(1)<0.
7) Avec une calculatrice, on trouve les solutions approchées suivantes à 10^-3 près :
x1 ≈ -0,544 ; x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 ≈ 1,544
