Explications étape par étape:
Pour démontrer que la fonction
�
(
�
)
f(x) n'est pas dérivable en 0, nous devons montrer que le nombre dérivé de
�
(
�
)
f(x) en 0 n'existe pas.
La définition du nombre dérivé de
�
(
�
)
f(x) en 0 est donnée par :
�
′
(
0
)
=
lim
ℎ
→
0
�
(
ℎ
)
−
�
(
0
)
ℎ
f
′
(0)=lim
h→0
h
f(h)−f(0)
Si ce nombre dérivé n'existe pas, cela signifie que la limite à droite et la limite à gauche de cette expression ne sont pas égales. En d'autres termes, les taux de variation à gauche et à droite de 0 ne convergent pas vers une même valeur.
Dans notre cas, nous devons examiner le comportement de f(x) autour de 0 pour montrer cette non-dérivabilité.
Si la fonction f(x) n'est pas dérivable en 0, cela peut signifier qu'il existe une discontinuité, une asymptote, ou une oscillation rapide autour de 0.
Nous pourrions donc avoir un comportement de la fonction tel que
f(h)−f(0) ne converge pas lorsque
ℎ
h tend vers 0, ce qui rend la limite ci-dessus indéfinie.
Cependant, sans connaître la forme précise de la fonction
f(x), il est difficile de donner une démonstration formelle de sa non-dérivabilité en 0. Si vous avez des informations supplémentaires sur la fonction f(x), je pourrais vous aider à poursuivre la démonstration.
