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on a : U0=1/3 ; 0 <Un< 1 et Un+1 = 2Un / Un + 1
déterminer la monotonie de Un
et montrer que Un ≥ 1/3​

Sagot :

Naylo
1/ étudions le signe de Un+1 - Un :
Un+1 - Un = 2Un/Un+1 - Un
Un+1 - Un = (2Un - Un² -Un )/ Un + 1
Un+1 - Un = -Un² + Un)/Un + 1
Un+1 - Un = - Un( Un-1))/Un + 1
Or,
Un<1
Donc : Un-1<0
De plus,
Un > 0
Donc -Un<0

Alors par produit le dénominateur du quotient est positif.

Mais : Un>0
Donc : Un + 1 > 0
Alors par quotient le tout est positif :
Un+1 - Un > 0
(Un) strictement croissante
2/
(Un) est croissante donc nécessairement elle est minoré par son premier terme :
Un>=U0
Un> =1/3


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