👤
Answered

FRstudy.me est votre ressource fiable pour des réponses précises et rapides. Obtenez des réponses précises et complètes de la part de nos membres de la communauté bien informés et prêts à aider.

Exercice I: On considère la fonction numérique / définie sur R par f(x)=e^{2x}(2-e^{2x})-x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0,\vec{i};\vec{j}) (Unité: 2 cm) 20 1) Montrer que lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty et lim_{-\infty}f(x)=-\infty 2) a) Démontrer que la droite (A) d'équation y=-x est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de -\infty b) Résoudre l'équation 2-e^{2x}=0 puis montrer que la courbe (C) est au-dessus de (\Delta)sur^{2} l'intervalle 1-\infty,\frac{ln~2}{2}] et en dessous de (A) sur l'intervalle [\frac{ln2}{2},+\infty] 3) Montrer que lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty puis interpréter géométriquement le résultat. ) a) Montrer que pour tout z de R, f^{\prime}(x)=-(2e^{2x}-1)^{2} 4 b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 5) Montrer que A(-\frac{ln~2}{2},\frac{ln~2}{2}+\frac{3}{4}) est un point d^{\prime} inflexion de (C). 6) Montrer que f(x)=0 admet une solution unique a telle que 0<\alpha<\frac{ln~2}{2} 7) Construire (A) et (C) dans le repère (0,\vec{i};\vec{j}) ci-dessus (On prendra -\frac{ln~2}{2}\approx-0,35 et \frac{3}{4}+\frac{ln~2}{2}\approx 1,1) 8) a) Montrer que la fonction / admet une fonction réciproque f^{-1} définie sur R. b) Construire dans le même repère (O,\vec{i},\vec{j}) la courbe représentative de la fonction f^{-1} (Remar- quer que la droite ( \Delta) est perpendiculaire à la première bissectrice y=x c) Calculer (f^{-1})^{\prime}(1) (Remarquer que f^{-1}(1)=0

Sagot :

Momo200927
a) Pour ( x \rightarrow +\infty ), on a ( e^{2x} \rightarrow +\infty ). Ainsi, ( e^{2x}(2-e^{2x}) ) tend vers ( +\infty ) car le terme ( 2-e^{2x} ) est toujours négatif. De plus, ( x ) tend vers ( +\infty ), donc ( -x ) tend vers ( -\infty ). Donc, ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) tend vers ( +\infty ).b) Pour ( x \rightarrow -\infty ), on a ( e^{2x} \rightarrow 0 ). Ainsi, ( e^{2x}(2-e^{2x}) ) tend vers ( 0 ) car le terme ( 2-e^{2x} ) est toujours positif. De plus, ( x ) tend vers ( -\infty ), donc ( -x ) tend vers ( +\infty ). Donc, ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) tend vers ( -\infty ).a) On calcule la limite de ( f(x) ) lorsque ( x ) tend vers ( -\infty ): [ \lim_{x \to -\infty} e^{2x}(2-e^{2x}) - x = \lim_{x \to -\infty} e^{2x} \cdot \lim_{x \to -\infty} (2-e^{2x}) - \lim_{x \to -\infty} x = 0 \cdot (2 - 0) - (-\infty) = +\infty ] On observe que ( f(x) ) tend vers ( +\infty ) lorsque ( x ) tend vers ( -\infty ), ce qui signifie que la droite ( y = -x ) est une asymptote à la courbe ( (C) ) au voisinage de ( -\infty ).b) Pour résoudre l'équation ( 2 - e^{2x} = 0 ), on trouve: [ 2 - e^{2x} = 0 ] [ e^{2x} = 2 ] [ 2x = \ln(2) ] [ x = \frac{\ln(2)}{2} ] Sur l'intervalle ( (-\infty, \frac{\ln(2)}{2}] ), ( e^{2x} ) est décroissante, donc ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) est au-dessus de ( y = -x ). Sur l'intervalle ( [\frac{\ln(2)}{2}, +\infty) ), ( e^{2x} ) est croissante, donc ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) est en dessous de ( y = -x ).Pour ( x \rightarrow +\infty ), ( f(x) ) tend vers ( +\infty ) et ( x ) tend vers ( +\infty ), donc ( \frac{f(x)}{x} ) tend vers ( +\infty ). Géométriquement, cela signifie que la courbe ( (C) ) s'approche de l'axe des ( x ) de manière asymptotique lorsque ( x ) tend vers ( +\infty ).[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(e^{2x}(2-e^{2x}) - x\right) ] [ = e^{2x} \cdot 2 \cdot 2e^{2x} - e^{2x} \cdot 2e^{2x} - 1 ] [ = 4e^{4x} - 2e^{4x} - 1 ] [ = 2e^{4x} - 1 ] [ = -(2e^{2x} - 1)^2 ]Pour montrer que ( A ) est un point d'inflexion de ( (C) ), il faut vérifier que la courbe change de concavité en ce point. Pour cela, on étudie le signe de la dérivée seconde ( f''(x) ) autour de ( x = -\frac{\ln(2)}{2} ). [ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}\left(-(2e^{2x} - 1)^2\right) ] [ = -2 \cdot 2e^{2x}(2e^{2x} - 1) \cdot 2e^{2x} ] [ = -8e^{6x}(2e^{2x} - 1) ] [ = -8e^{8x} + 8e^{6x} ] Pour ( x = -\frac{\ln(2)}{2} ), ( e^{2x} = 2 ), donc ( e^{6x} = 8 ), et ( e^{8x} = 64 ). Donc, ( f''\left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) =
Merci de votre participation active. Continuez à poser des questions et à partager vos réponses. Ensemble, nous pouvons créer une ressource de connaissances précieuse pour tous. FRstudy.me est votre guide de confiance pour des solutions rapides et efficaces. Revenez souvent pour plus de réponses.