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Kalyane
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bonjour, est ce que vous pourriez m’aider pour un dm que je dois rentre vendredi svp merci beaucoup je n’y arrive pas

.Exercice : Les tours de KanaïOn dispose d'un socle sur lequel sont plantées trois tiges verticales. On empile plusieurs disques troués sur la première tige, le plus large reposant sur la base et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu'au sommet. Le jeu consiste à déplacer tous les disques d'une tige sur une autre tige en respectant les règles suivantes : • On ne déplace qu'un disque la fois; • On ne dépose jamais un disque sur un disque plus petit. Pour tout entier naturel non nul n, on note Un le nombre minimum de déplacements nécessaires pour transporter une tour de n étages d'une tige à une autre.Déterminer U1 puis U2.Montrer que U3 = 7.La suite (Un) est-elle arithmétique? Est-elle géométrique? Justifier votre réponse.Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : Un+1 = 2Un + 1.On remarquera que pour pouvoir déplacer le disque le plus large, il faut avoir reconstitué une tour avec les autres disques sur une des tiges.Posons, pour tout entier n ≥ 1, Vn+1= 2Vn.a) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, Vn+1 = 2Vn • b) En déduire la nature de la suite (Vn). Préciser la raison et le terme initial. c) Exprimer Vn puis Un, en fonction de n.On suppose qu'il faut une seconde pour déplacer un disque. Combien de temps le jeu dure-t-il avec une tour de 10 disques? et avec une tour de 64 disques?

Bonjour Est Ce Que Vous Pourriez Maider Pour Un Dm Que Je Dois Rentre Vendredi Svp Merci Beaucoup Je Ny Arrive Pas Exercice Les Tours De KanaïOn Dispose Dun Soc class=

Sagot :

Réponse :bonsoir je serais ravi de vous aider avec votre devoir de mathématiques sur les tours de Kanaï. Voici les réponses à vos questions :

Pour déterminer U1 et U2 :

U1 est le nombre minimum de déplacements nécessaires pour transporter une tour d’un étage d’une tige à une autre. Comme il n’y a qu’un seul disque, il ne faut qu’un seul déplacement. Donc, U1 = 1.

U2 est le nombre minimum de déplacements nécessaires pour transporter une tour de deux étages d’une tige à une autre. Il faut déplacer le disque du dessus sur une autre tige (1er déplacement), déplacer le disque du dessous sur la dernière tige (2ème déplacement), puis déplacer le disque du dessus sur le disque du dessous (3ème déplacement). Donc, U2 = 3.

Pour montrer que U3 = 7, considérez une tour de trois étages. Il faut déplacer les deux disques du dessus sur une autre tige (ce qui nécessite U2 = 3 déplacements), déplacer le disque du dessous sur la dernière tige (1 déplacement), puis déplacer les deux disques du dessus sur le disque du dessous (encore U2 = 3 déplacements). Donc, U3 = 3 + 1 + 3 = 7.

La suite (Un) n’est ni arithmétique ni géométrique. En effet, dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante, ce qui n’est pas le cas ici. Dans une suite géométrique, le rapport entre deux termes consécutifs est constant, ce qui n’est pas non plus le cas ici.

Pour démontrer que pour tout entier naturel non nul n : Un+1 = 2Un + 1, considérez une tour de n+1 étages. Il faut déplacer les n disques du dessus sur une autre tige (ce qui nécessite Un déplacements), déplacer le disque du dessous sur la dernière tige (1 déplacement), puis déplacer les n disques du dessus sur le disque du dessous (encore Un déplacements). Donc, Un+1 = Un + 1 + Un = 2Un + 1.

Pour la suite (Vn), si pour tout entier n ≥ 1, on a Vn+1 = 2Vn, alors la suite est géométrique de raison 2. Le terme initial est V1.

Pour exprimer Vn puis Un en fonction de n, comme la suite (Vn) est géométrique de raison 2, on a Vn = V1 * 2^(n-1). Comme Un+1 = 2Un + 1 et que U1 = 1, on a Un = 2^n - 1.

Si chaque déplacement dure une seconde, alors une tour de 10 disques prendra U10 = 2^10 - 1 = 1023 secondes, soit environ 17 minutes. Une tour de 64 disques prendra U64 = 2^64 - 1 secondes, ce qui est un nombre extrêmement grand, bien au-delà de l’âge de l’univers !

J’espère que cela vous aide avec votre devoir. N’hésitez pas si vous avez d’autres questions !

Explications étape par étape :

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