Réponse :
Pour construire le tableau de signes de chaque expression, suivons ces étapes :
a) \( \frac{3(x-2)}{2x+6} \)
1. Trouvons les valeurs pour lesquelles l'expression est nulle ou indéfinie :
\( 3(x-2) = 0 \) lorsque \( x = 2 \) (numérateur)
\( 2x + 6 = 0 \) lorsque \( x = -3 \) (dénominateur)
2. Déterminons les intervalles où l'expression est positive ou négative :
a) Pour \( x < -3 \) : Testons \( x = -4 \) :
\( 3(-4-2) = -18 \) (numérateur négatif)
\( 2(-4) + 6 = -2 \) (dénominateur négatif)
b) Pour \( -3 < x < 2 \) : Testons \( x = 0 \) :
\( 3(0-2) = -6 \) (numérateur négatif)
\( 2(0) + 6 = 6 \) (dénominateur positif)
c) Pour \( x > 2 \) : Testons \( x = 3 \) :
\( 3(3-2) = 3 \) (numérateur positif)
\( 2(3) + 6 = 12 \) (dénominateur positif)
Maintenant, dressons le tableau de signes :
\[
\begin{array}{c|cccc}
x & -\infty & -3 & 2 & +\infty \\
\hline
3(x-2) & + & - & - & + \\
2x+6 & - & - & + & + \\
\frac{3(x-2)}{2x+6} & - & + & - & +
\end{array}
\]
b) \( \frac{2x - 3}{x + 4} \)
1. Trouvons les valeurs pour lesquelles l'expression est nulle ou indéfinie :
\( 2x - 3 = 0 \) lorsque \( x = \frac{3}{2} \) (numérateur)
\( x + 4 = 0 \) lorsque \( x = -4 \) (dénominateur)
2. Déterminons les intervalles où l'expression est positive ou négative :
a) Pour \( x < -4 \) : Testons \( x = -5 \) :
\( 2(-5) - 3 = -13 \) (numérateur négatif)
\( -5 + 4 = -1 \) (dénominateur négatif)
b) Pour \( -4 < x < \frac{3}{2} \) : Testons \( x = 0 \) :
\( 2(0) - 3 = -3 \) (numérateur négatif)
\( 0 + 4 = 4 \) (dénominateur positif)
c) Pour \( x > \frac{3}{2} \) : Testons \( x = 2 \) :
\( 2(2) - 3 = 1 \) (numérateur positif)
\( 2 + 4 = 6 \) (dénominateur positif)
Dressons maintenant le tableau de signes :
\[
\begin{array}{c|cccc}
x & -\infty & -4 & \frac{3}{2} & +\infty \\
\hline
2x - 3 & - & - & + & + \\
x + 4 & - & + & + & + \\
\frac{2x - 3}{x + 4} & + & - & + & +
\end{array}
\]
Ces tableaux de signes nous montrent les intervalles où chaque expression est positive ou négative.
